Classifying Finite Simple Groups with Respect to the Number of Orbits Under the Action of the

Automorphism Group

– Supplementary Tables –

Stefan Kohl

Institut für Geometrie und Topologie Universität Stuttgart 70550 Stuttgart, Germany

E-mail: kohl@mathematik.uni-stuttgart.de

The values ω(G) in Table 1 have been computed using GAP [2], all other data has been taken from the Atlas of finite groups [1]. Tables 2 and 3 have been computed using GAP.

1 Orbit Numbers for Small Simple Groups

Table 1: ω(G) for simple groups G (sorted by group order, the enumeration of groups G = PSL(2, q) was stopped at |G| = 10^{6}).

G  ω(G)  |G|  Prime factorization of |G| Out(G)

A_{5} ≅ PSL(2, 4)

≅ PSL(2, 5)  4  60 2^{2} · 3 · 5  C_{2}
PSL(3, 2) ≅ PSL(2, 7)  5  168 2^{3} · 3 · 7  C_{2}
A_{6} ≅ PSL(2, 9)  5  360 2^{3} · 3^{2} · 5  C_{2}^{2}
PSL(2, 8)  5  504 2^{3} · 3^{2} · 7  C_{3}
PSL(2, 11)  7  660 2^{2} · 3 · 5 · 11  C_{2}
PSL(2, 13)  8  1092 2^{2} · 3 · 7 · 13  C_{2}
PSL(2, 17)  10  2448 2^{4} · 3^{2} · 17  C_{2}
A_{7}  8  2520 2^{3} · 3^{2} · 5 · 7  C_{2}
PSL(2, 19)  11  3420 2^{2} · 3^{2} · 5 · 19  C_{2}
PSL(2, 16)  7  4080 2^{4} · 3 · 5 · 17  C_{4}
PSL(3, 3)  9  5616 2^{4} · 3^{3} · 13  C_{2}
PSU(3, 3) ≅ G_{2}(2)′  10  6048 2^{5} · 3^{3} · 7  C_{2}
PSL(2, 23)  13  6072 2^{3} · 3 · 11 · 23  C_{2}
PSL(2, 25)  10  7800 2^{3} · 3 · 5^{2} · 13  C_{2}^{2}
M_{11}  10  7920 2^{4} · 3^{2} · 5 · 11  1
PSL(2, 27)  7  9828 2^{2} · 3^{3} · 7 · 13  C_{6}

To be continued.

Continued.

G  ω(G)  |G|  Prime factorization of |G| Out(G)
PSL(2, 29)  16  12180 2^{2} · 3 · 5 · 7 · 29  C_{2}
PSL(2, 31)  17  14880 2^{5} · 3 · 5 · 31  C_{2}
A_{8} ≅ PSL(4, 2)  12  20160 2^{6} · 3^{2} · 5 · 7  C_{2}
PSL(3, 4)  6  20160 2^{6} · 3^{2} · 5 · 7  D_{6}
PSL(2, 37)  20  25308 2^{2} · 3^{2} · 19 · 37  C_{2}
PSU(4, 2) ≅ PSp(4, 3)  15  25920 2^{6} · 3^{4} · 5  C_{2}
Sz(8)  7  29120 2^{6} · 5 · 7 · 13  C_{3}
PSL(2, 32)  9  32736 2^{5} · 3 · 11 · 31  C_{5}
PSL(2, 41)  22  34440 2^{3} · 3 · 5 · 7 · 41  C_{2}
PSL(2, 43)  23  39732 2^{2} · 3 · 7 · 11 · 43  C_{2}
PSL(2, 47)  25  51888 2^{4} · 3 · 23 · 47  C_{2}
PSL(2, 49)  17  58800 2^{4} · 3 · 5^{2} · 7^{2}  C_{2}^{2}
PSU(3, 4)  9  62400 2^{6} · 3 · 5^{2} · 13  C_{4}
PSL(2, 53)  28  74412 2^{2} · 3^{3} · 13 · 53  C_{2}
M_{12}  12  95040 2^{6} · 3^{3} · 5 · 11  C_{2}
PSL(2, 59)  31  102660 2^{2} · 3 · 5 · 29 · 59  C_{2}
PSL(2, 61)  32  113460 2^{2} · 3 · 5 · 31 · 61  C_{2}
PSU(3, 5)  10  126000 2^{4} · 3^{2} · 5^{3} · 7  S_{3}
PSL(2, 67)  35  150348 2^{2} · 3 · 11 · 17 · 67  C_{2}
J_{1}  15  175560 2^{3} · 3 · 5 · 7 · 11 · 19  1
PSL(2, 71)  37  178920 2^{3} · 3^{2} · 5 · 7 · 71  C_{2}
A_{9}  16  181440 2^{6} · 3^{4} · 5 · 7  C_{2}
PSL(2, 73)  38  194472 2^{3} · 3^{2} · 37 · 73  C_{2}
PSL(2, 79)  41  246480 2^{4} · 3 · 5 · 13 · 79  C_{2}
PSL(2, 64)  15  262080 2^{6} · 3^{2} · 5 · 7 · 13  C_{6}
PSL(2, 81)  15  265680 2^{4} · 3^{4} · 5 · 41  C_{2} × C_{4}
PSL(2, 83)  43  285852 2^{2} · 3 · 7 · 41 · 83  C_{2}
PSL(2, 89)  46  352440 2^{3} · 3^{2} · 5 · 11 · 89  C_{2}
PSL(3, 5)  19  372000 2^{5} · 3 · 5^{3} · 31  C_{2}
M_{22}  11  443520 2^{7} · 3^{2} · 5 · 7 · 11  C_{2}
PSL(2, 97)  50  456288 2^{5} · 3 · 7^{2} · 97  C_{2}
PSL(2, 101)  52  515100 2^{2} · 3 · 5^{2} · 17 · 101  C_{2}
PSL(2, 103)  53  546312 2^{3} · 3 · 13 · 17 · 103  C_{2}
J_{2}  16  604800 2^{7} · 3^{3} · 5^{2} · 7  C_{2}
PSL(2, 107)  55  612468 2^{2} · 3^{3} · 53 · 107  C_{2}
PSL(2, 109)  56  647460 2^{2} · 3^{3} · 5 · 11 · 109  C_{2}
PSL(2, 113)  58  721392 2^{4} · 3 · 7 · 19 · 113  C_{2}
PSL(2, 121)  37  885720 2^{3} · 3 · 5 · 11^{2} · 61  C_{2}^{2}
PSL(2, 125)  24  976500 2^{2} · 3^{2} · 5^{3} · 7 · 31  C_{6}
PSp(4, 4)  12  979200 2^{8} · 3^{2} · 5^{2} · 17  C_{4}
PSp(6, 2)  30  1451520 2^{9} · 3^{4} · 5 · 7  1
A_{10}  22  1814400 2^{7} · 3^{4} · 5^{2} · 7  C_{2}
PSL(3, 7)  16  1876896 2^{5} · 3^{2} · 7^{3} · 19  S_{3}
PSU(4, 3)  14  3265920 2^{7} · 3^{6} · 5 · 7  D_{4}
G_{2}(3)  17  4245696 2^{6} · 3^{6} · 7 · 13  C_{2}
PSp(4, 5)  27  4680000 2^{6} · 3^{2} · 5^{4} · 13  C_{2}

To be continued.

Continued.

G  ω(G)  |G|  Prime factorization of |G| Out(G)
PSU(3, 8)  10  5515776 2^{9} · 3^{4} · 7 · 19  C_{3} × S_{3}
PSU(3, 7)  34  5663616 2^{7} · 3 · 7^{3} · 43  C_{2}
PSL(4, 3)  26  6065280 2^{7} · 3^{6} · 5 · 13  C_{2}^{2}
PSL(5, 2)  20  9999360 2^{10} · 3^{2} · 5 · 7 · 31  C_{2}
M_{23}  17 10200960 2^{7} · 3^{2} · 5 · 7 · 11 · 23  1
PSU(5, 2)  30 13685760 2^{10} · 3^{5} · 5 · 11  C_{2}
PSL(3, 8)  17 16482816 2^{9} · 3^{2} · 7^{2} · 73  C_{6}
2F_{4}(2)′ (Tits-G.)  17 17971200 2^{11} · 3^{3} · 5^{2} · 13  C_{2}
A_{11}  29 19958400 2^{7} · 3^{4} · 5^{2} · 7 · 11  C_{2}
Sz(32)  11 32537600 2^{10} · 5^{2} · 31 · 41  C_{5}
PSL(3, 9)  32 42456960 2^{7} · 3^{6} · 5 · 7 · 13  C_{2}^{2}
PSU(3, 9)  29 42573600 2^{5} · 3^{6} · 5^{2} · 73  C_{4}
HS  21 44352000 2^{9} · 3^{2} · 5^{3} · 7 · 11  C_{2}
J_{3}  17 50232960 2^{7} · 3^{5} · 5 · 17 · 19  C_{2}
PSU(3, 11)  30 70915680 2^{5} · 3^{2} · 5 · 11^{3} · 37  S_{3}
PSp(4, 7)  43 138297600 2^{8} · 3^{2} · 5^{2} · 7^{4}  C_{2}
O^{+}(8, 2)  27 174182400 2^{12} · 3^{5} · 5^{2} · 7  S_{3}
O^{−}(8, 2)  33 197406720 2^{12} · 3^{4} · 5 · 7 · 17  C_{2}
3D_{4}(2)  21 211341312 2^{12} · 3^{4} · 7^{2} · 13  C_{3}
PSL(3, 11)  73 212427600 2^{4} · 3 · 5^{2} · 7 · 11^{3} · 19  C_{2}
A_{12}  40 239500800 2^{9} · 3^{5} · 5^{2} · 7 · 11  C_{2}
M_{24}  26 244823040 2^{10} · 3^{3} · 5 · 7 · 11 · 23  1
G_{2}(4)  24 251596800 2^{12} · 3^{3} · 5^{2} · 7 · 13  C_{2}
PSL(3, 13)  39 270178272 2^{5} · 3^{2} · 7 · 13^{3} · 61  S_{3}
PSU(3, 13)  811273008 2^{4} · 3 · 7^{2} · 13^{3} · 157  C_{2}
McL  19 898128000 2^{7} · 3^{6} · 5^{3} · 7 · 11  C_{2}
PSL(4, 4)  36 987033600 2^{12} · 3^{4} · 5^{2} · 7 · 17  C_{2}^{2}
PSU(4, 4)  1018368000 2^{12} · 3^{2} · 5^{3} · 13 · 17  C_{4}
PSp(4, 8)  1056706560 2^{12} · 3^{4} · 5 · 7^{2} · 13  C_{6}
PSL(3, 16)  20 1425715200 2^{12} · 3^{2} · 5^{2} · 7 · 13 · 17  C_{4} × S_{3}
PSp(4, 9)  1721606400 2^{8} · 3^{8} · 5^{2} · 41  C_{2}^{2}
PSU(3, 17)  2317678272 2^{6} · 3^{4} · 7 · 13 · 17^{3}  S_{3}
A_{13}  52 3113510400 2^{9} · 3^{5} · 5^{2} · 7 · 11 · 13  C_{2}
He  26 4030387200 2^{10} · 3^{3} · 5^{2} · 7^{3} · 17  C_{2}
PSU(3, 16)  4279234560 2^{12} · 3 · 5 · 17^{2} · 241  C_{8}
PSp(6, 3)  50 4585351680 2^{9} · 3^{9} · 5 · 7 · 13  C_{2}
O(7, 3)  52 4585351680 2^{9} · 3^{9} · 5 · 7 · 13  C_{2}
PSL(3, 19)  5644682640 2^{4} · 3^{4} · 5 · 19^{3} · 127  S_{3}
G_{2}(5)  44 5859000000 2^{6} · 3^{3} · 5^{6} · 7 · 31  1
PSL(3, 17)  6950204928 2^{9} · 3^{2} · 17^{3} · 307  C_{2}
PSL(4, 5)  34 7254000000 2^{7} · 3^{2} · 5^{6} · 13 · 31  D_{4}
PSU(6, 2)  9196830720 2^{15} · 3^{6} · 5 · 7 · 11  S_{3}

2 Simple Groups by Orbit Number

Table 2: Simple groups G for given ω(G); if several groups are generically isomorphic, only one of them is mentioned. The table is complete for ω(G) ≤ 17.

n  Simple groups G satisfying ω(G) = n
4 PSL(2, 4) ≅ PSL(2, 5) ≅ A_{5}
5 PSL(2, 7) ≅ PSL(3, 2), PSL(2, 9) ≅ A_{6}, PSL(2, 8)
6 PSL(3, 4)
7 PSL(2, 11), PSL(2, 16), PSL(2, 27), Sz(8)
8 PSL(2, 13), A_{7}
9 PSL(3, 3), PSL(2, 32), PSU(3, 4)
10 PSL(2, 17), PSU(3, 3), PSL(2, 25), M_{11}, PSU(3, 5), PSU(3, 8)
11 PSL(2, 19), M_{22}, Sz(32)
12 PSL(4, 2) ≅ A_{8}, M_{12}, PSp(4, 4)
13 PSL(2, 23)
14 PSU(4, 3)
15 PSU(4, 2) ≅ PSp(4, 3), J_{1}, PSL(2, 64), PSL(2, 81)
16 PSL(2, 29), A_{9}, J_{2}, PSL(3, 7)
17 PSL(2, 31), PSL(2, 49), G_{2}(3), M_{23}, PSL(3, 8), ^{2}F_{4}(2)′, J_{3}

18

19 PSL(3, 5), Mcl, Ree(27)
20 PSL(2, 37), PSL(5, 2), PSL(3, 16)
21 PSL(2, 128), HS, ^{3}D_{4}(2)
22 PSL(2, 41), A_{10}
23 PSL(2, 43), Sz(128)
24 PSL(2, 125), G_{2}(4)
25 PSL(2, 47), O′N
26 PSL(4, 3), M_{24}, He
27 PSp(4, 5), PSL(2, 243), O^{+}(8, 2)
28 PSL(2, 53)
29 A_{11}, PSU(3, 9)
30 O(7, 2) ≅ PSp(6, 2), PSU(5, 2), PSU(3, 11)
31 PSL(2, 59)
32 PSL(2, 61), PSL(3, 9)
33 O^{−}(8, 2)
34 PSU(3, 7), PSL(4, 5)
35 PSL(2, 67)
36 PSL(4, 4), Ru
37 PSL(2, 71), PSL(2, 121), PSL(2, 256), Suz
38 PSL(2, 73)
39 PSL(3, 13)
40 A_{12}
41 PSL(2, 79)
42 Co_{3}
43 PSL(2, 83), O(5, 7)

To be continued.

Continued.

n  Simple groups G satisfying ω(G) = n
44 G_{2}(5), PSL(6, 2), HN

45

46 PSL(2, 89)

47

48 Th

49

50 PSL(2, 97), PSL(2, 169), PSp(6, 3)

51

52 PSL(2, 101), A_{13}, O(7, 3)
53 PSL(2, 103), Ly

54

55 PSL(2, 107)
56 PSL(2, 109)

57

58 PSL(2, 113)
59 Fi_{22}
60 Co_{2}
61 PSL(2, 343), PSL(2, 512)
62 J_{4}

63 64

65 PSL(2, 127)

66

67 PSL(2, 131)

68

69 PSL(2, 729), A_{14}
70 PSL(2, 137)
71 PSL(2, 139)
72 PSL(5, 3), G_{2}(7)

73 74 75

76 PSL(2, 149)
77 PSL(2, 151)

78 79

80 PSL(2, 157)
81 O(9, 2), PSp(8, 2)
82 PSL(2, 289)
83 PSL(2, 163)

84

85 PSL(2, 167)

86 87

88 PSL(2, 173), PSL(2, 625)

89

To be continued.

Continued.

n  Simple groups G satisfying ω(G) = n
90 A_{15}
91 PSL(2, 179)
92 PSL(2, 181)

93 94 95 96

97 PSL(2, 191), Fi′_{24}
98 PSL(2, 193), Fi_{23}

99

100 PSL(2, 197)

3 Remaining ‘Candidates’

Table 3: Bounds on orbit numbers for all simple groups G which possibly satisfy ω(G) ≤ 100. We give the best lower bound computed so far.

n Simple groups G satisfying ω(G) ≥ n
18 PSU(3, 32)
21 O(5, 8)
23 PSU(4, 7)
24 O^{+}(8, 5)
28 G_{2}(9), O^{−}(10, 3)
29 PSU(3, 17)
30 G_{2}(8)
31 PSU(4, 5)
32 PSU(4, 4), O(7, 5)
33 PSU(5, 4)
34 O(5, 9), PSU(6, 2)
37 O^{+}(8, 3)
39 PSU(3, 16)
41 O(5, 11)
42 PSU(3, 23), Ree(8)
43 O(5, 16), ^{3}D_{4}(3), O(9, 3), PSL(6, 4)
44 O^{+}(8, 7)
45 PSp(8, 3), O^{+}(12, 3)
46 PSL(4, 9), O^{+}(8, 4)
47 O^{+}(8, 9)
50 O^{+}(10, 3)
52 PSL(6, 3)
53 PSL(3, 25)
55 PSL(4, 7)
56 O(5, 13), PSU(4, 9)
57 O(7, 4)

To be continued.

Continued.

n Simple groups G satisfying ω(G) ≥ n
58 O^{−}(10, 2)
59 PSU(3, 29), PSL(7, 2), ^{3}D_{4}(4)
60 PSU(4, 11), F_{4}(2)
61 PSL(3, 19)
62 O(5, 27), O(11, 3), PSp(10, 3)
64 PSp(6, 4), O(13, 2), PSU(6, 5)
65 O^{−}(8, 4), O^{+}(14, 2), O^{−}(14, 2)
67 PSL(3, 11), PSU(6, 3)
68 PSU(9, 2)
69 O^{−}(8, 3)
70 O(11, 2), O^{−}(14, 3)
73 O(5, 17), O^{+}(12, 2)
75 G_{2}(16)
76 PSU(5, 3)
77 PSU(5, 9)
79 O(5, 25), O^{−}(8, 5)
80 O^{+}(10, 2)
85 PSL(5, 4)
87 O(7, 7), PSp(6, 7)
89 ^{2}E_{6}(2)
90 PSp(6, 5)
91 O(5, 19), E_{6}(2)
92 O(7, 9), PSp(6, 9), O^{−}(12, 3)
93 PSU(3, 13)
98 PSU(3, 41)
99 PSL(4, 8), O^{+}(10, 5)

References

[1] John H. Conway, Robert T. Curtis, Simon P. Norton, Richard A. Parker, and Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. Oxford University Press, 1985.

[2] The GAP Group, Aachen, St Andrews. GAP – Groups, Algorithms, and Programming,

Version 4.3, 2002. (http://www.gap-system.org).