Über die Anzahl der Bahnen in endlichen Gruppen unter der Operation

ihrer Automorphismengruppe - Suzuki-Gruppen vs. lineare Gruppen

Stefan Kohl

Diplomarbeit im Fach Mathematik an der Universität Stuttgart

Betreuer : Priv.-Doz. Dr. Markus Stroppel

Januar 2000

ii Mein Dank gilt Herrn PD Dr. Markus Stroppel für die vorzügliche Betreuung dieser Arbeit während des gesamten Bearbeitungszeitraums, sowie den Entwicklern des Computeralgebrasystems GAP (siehe [GAP99]), welches sich hier ein weiteres Mal als sehr nützlich erwiesen hat; dies betrifft nicht nur die Berechnung der Tabellen in Anhang A, sondern auch das Finden der Resultate und der zugehörigen Beweise selbst, zumal es mitunter eine nicht zu unterschätzende Hilfe war, die Struktur der behandelten Gruppen anhand von Beispielen rechnerisch untersuchen zu können. iv

Inhaltsverzeichnis

Vorwort vii 1 Grundlagen 1 2 Die linearen Gruppen 7 3 Die Suzuki - Gruppen 15 A Tabellen 19 B GAP - Funktionen 25 C Symbolverzeichnis 29 vi Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anzahl ω(G) der Bahnen, in die eine (endliche) Gruppe G unter der Operation ihrer Automorphismengruppe zerfällt.

In diesem Zusammenhang interessiert unter anderem die Fragestellung, was sich über G aussagen läßt, wenn man Eigenschaften von ω(G) vorgibt, es also zum Beispiel nach oben hin beschränkt. So folgt etwa aus ω(G) ≤ 2, daß G isomorph zur additiven Gruppe eines Vektorraums ist. Die entsprechende Fragestellung für ω(G) ≤ 3 wurde von Helmut Mäurer und Markus Stroppel in [MS97] -auch für unendliche Gruppen- untersucht und teilweise geklärt. Es ist hier natürlich naheliegend, allgemeiner zu fragen, was sich aus ω(G) ≤ n folgern läßt, aber für n > 3 wird die Situation recht schnell sehr unübersichtlich und man wird wohl keine ’schönen’ Ergebnisse mehr erwarten können. Eine Möglichkeit, dennoch zu Resultaten zu kommen, ist, daß man zusätzliche Forderungen an G stellt, also beispielsweise verlangt, daß G einfach ist (diese Frage wurde von Markus Stroppel in [Str99] für n = 5 beantwortet).

Möchte man bei der Behandlung der genannten Problemstellungen weiterkommen, wird es sicherlich von Nutzen sein, für gewisse ’interessante’ Typen von Gruppen G den Wert von ω(G) zu bestimmen. Hierzu einen Beitrag zu leisten ist die Zielsetzung dieser Arbeit.

Zunächst geht es dabei um die linearen Gruppen vom Grad 2, genauer um G = PSL(2, q), SL(2, q), PGL(2, q) oder GL(2, p), wo geschlossene Formelausdrücke zur Berechnung von ω(G) hergeleitet werden, sowie um den ’Einzelfall’ G = PSL(3, 3), der von Interesse ist, um (zusammen mit den Suzuki-Gruppen, s.u.) alle minimalen einfachen Gruppen zu erfassen (vgl. Satz 1.9). Eine wesentliche Hilfe hierbei ist die explizite Kenntnis der Automorphismengruppen in diesen Fällen. Die Vorgehensweise ist im großen und ganzen die, daß man sich zunächst durch Übergang von beliebigen Elementen von G zu deren rationaler Normalform ein Repräsentantensystem für die Konjugiertenklassen von G verschafft und anschließend untersucht, welche dieser Repräsentanten sich durch äußere Automorphismen von G ineinander überführen lassen, also welche Konjugiertenklassen von G unter der Operation von Out(G) fusionieren. Die Komplexität des anschließenden Zählvorganges und der resultierenden -z.T. rekursiven-Formelausdrücke bereits für die linearen Gruppen vom Grad 2 läßt es wohl wenig plausibel erscheinen, daß sich für höhere Grade noch einigermaßen übersichtliche Ergebnisse erzielen lassen - selbst der Fall G = GL(2, q) für eine beliebige Primzahlpotenz q ist schon so unübersichtlich, daß ich hier keine allgemeine Formel mehr gefunden habe (eine GAP -Routine zum Abzählen der Bahnen in diesem Fall findet sich, nebst Funktionen zur Auswertung der oben erwähnten Formelausdrücke für die übrigen betrachteten Gruppen, in Anhang B).

Anschließend werden die Suzuki-Gruppen Sz(q) untersucht. Obwohl sich diese Gruppen erheblich von den zuvor betrachteten linearen Gruppen unterscheiden, ergeben sich doch - zunächst einmal überraschende - Parallelen zu den Gruppen PSL(2, q), die sich auch im Ergebnis niederschlagen :

ω(Sz(q)) = ω(PSL(2, q)) + 2

Diesen Umstand kann man auch auffassen als eine Ähnlichkeit der einfachen Zassenhaus-Gruppen untereinander. (Zassenhaus-Gruppen sind zweifach transitive Permutationsgruppen endlicher Mengen, deren einziges Element, das mehr als zwei Punkte fixiert, das Neutralelement ist, und die keinen regulären Normalteiler haben. Einfache Zassenhaus-Gruppen sind PSL(2, q) für q > 3 und die Suzuki-Gruppen. Eine ausführliche Diskussion dieser Gruppen findet sich in [HB82], Kap. XI; hier sei nur noch erwähnt, daß die einfachen Zassenhaus-Gruppen die einzigen einfachen Gruppen mit einer nichttrivialen Partition, also einer Zerlegung in paarweise bis auf das Neutralelement disjunkte echte Untergruppen, sind (siehe [Hup67], S. 194, Bem. 8.6)). Die genannte Ähnlichkeit der Strukturen dieser Gruppen im Hinblick auf die Thematik dieser Arbeit manifestiert sich etwa darin, daß in beiden Fällen die äußere Automorphismengruppe halbregulär auf der Menge der Konjugiertenklassen operiert, die kein Element einer Untergruppe PSL(2, q̃) ⪇ PSL(2, q) bzw. Sz(q̃) ⪇ Sz(q) über einem echten Teilkörper GF(q̃) von GF(q) enthalten, und daß das Ergebnis dann für beide Serien von Gruppen in praktisch derselben Art und Weise per geschickter ’Summation über den Teilkörperverband’ des Grundkörpers gewonnen werden kann. Was die erwähnte Halbregularitätsaussage anbelangt, so ergibt sich diese einerseits für die speziellen linearen Gruppen ganz nebenbei und ohne jede Schwierigkeit, erfordert jedoch andererseits bei den Suzuki-Gruppen einen Großteil des Beweises des diesbezüglichen Satzes. Betreffs des Summanden ’2’ im oben genannten Hauptresultat beachte man, daß sich dieser letztlich aus der Gültigkeit der Gleichung für q = 2 ergibt, wenn man die Definition der Suzuki-Gruppen auf Sz(2) ≅ ⟨(2 4 3 5), (1 2)(3 4)⟩ ≅ AGL(1, 5) ≅ C_{5} ⋊ C_{4} ausdehnt, zumal sich die Bahnenzerlegungen der Mengen der zu keinem Element dieser Untergruppen konjugierten Gruppenelemente von Sz(q) und PSL(2, q) in zählungsrelevanter Hinsicht völlig gleichen. Der Wunsch, neben den minimalen einfachen Gruppen auch die einfachen Zassenhaus-Gruppen im Sinne der Zielsetzung dieser Arbeit abschließend zu behandeln, kann als wesentliche Motivation dafür angesehen werden, sich nicht auf lineare Gruppen über Primkörpern und Suzuki-Gruppen Sz(2^{p}) für ungerade Primzahlen p zu beschränken, sondern die genannten Gruppen über sämtlichen zulässigen (endlichen) Grundkörpern zu betrachten, obwohl dies die Argumentation nicht unerheblich verkompliziert.

Die Frage nach einem Resümee dieser Arbeit läßt sich wohl dahingehend beantworten, daß die linearen Gruppen, so weit wie interessante, einem Leser vom Umfang her zuträgliche Ergebnisse zu erwarten sind, und die Suzuki-Gruppen vollständig in der bekannten Weise behandelt werden, und daß ferner quasi en passant eine weitere Ähnlichkeit der Suzuki-Gruppen zu linearen Gruppen aufgedeckt wird. Weitere Untersuchungen könnten in die Richtung gehen, sich zu überlegen, ob bzw. inwieweit sich die Resultate für die minimalen einfachen Gruppen in dem Sinne auf die übrigen einfachen Gruppen übertragen lassen, als daß sich die Bahnenanzahl durch Übergang zu einer größeren einfachen Gruppe zumindest nicht verringert - für allgemeine Gruppen ist dies nicht der Fall, wie das Beispiel ω(C_{2} × C_{4}) = 4 und ω(C_{4}^{2}) = 3 zeigt.

Kapitel 1

Grundlagen

Dieses Kapitel dient der Darlegung der in dieser Arbeit verwendeten mathematischen Grundlagen. Die Ausführungen können und sollen selbstverständlich kein Lehrbuch ersetzen. Auf Beweise wird weitgehend verzichtet und stattdessen auf die gängige Literatur verwiesen - für ’Standardwissen’ sind dies bevorzugt Lehrbücher, ansonsten Originalliteratur; wo immer es in den referenzierten Quellen mehr oder weniger direkte Entsprechungen zu den genannten Sätzen gibt, wird darauf hingewiesen. Auf die meisten der hier aufgeführten Aussagen wird später Bezug genommen; wo immer es angebracht erscheint, werden jedoch zur besseren Illustration auch weitere Zusatzinformationen gegeben - dies ist beispielsweise der Fall bei den linearen Gruppen (siehe Lemma 1.5) sowie den Suzuki-Gruppen (siehe Lemma 1.8). Vorausgesetzt wird lediglich eine gewisse Vertrautheit mit den Grundzügen der Gruppentheorie, der linearen Algebra, der Kombinatorik sowie der elementaren Zahlentheorie. Betreffs der Erläuterung der verwendeten Schreibweisen sei der Leser auf das Symbolverzeichnis in Anhang C verwiesen.

1.1 Lemma Es sei M eine nichtleere endliche Menge. Dann gilt :

∑_{∅≠M̃⊆M}(−1)^{|M̃|+1} = 1 + ∑_{M̃⊆M}(−1)^{|M̃|} = 1 + 0 = 1

Beweis : Diese Aussage ist eine direkte Konsequenz daraus, daß M genauso viele Teilmengen gerader wie ungerader Kardinalität besitzt. Das wiederum zeigt man via Induktion über die Kardinalität von M : im Falle |M| = 1 ist die Aussage offensichtlich richtig, und da sich aus jeder Teilmenge einer Menge M̃ ⊊ M der Kardinalität |M|−1 durch Hinzunahme bzw. Nichthinzunahme des Elementes von M\M̃ jeweils genau eine Teilmenge gerader wie auch ungerader Kardinalität bilden läßt, ergibt sich die Behauptung. □

1.2 Lemma Es seien M_{i}, i ∈ I endlich viele endliche Mengen, und es sei M = ⋃_{i∈I} M_{i}. Dann gilt :

|M| = ∑_{∅≠J⊆I}(−1)^{|J|+1} |⋂_{i∈J} M_{i}|

Zum Beweis überlege man sich, daß jedes Element der Vereinigung genau einmal gezählt wird : liegt m ∈ M in genau n Teilmengen M_{i}, so liegt m für jedes k in genau \binom{n}{k} Schnitten von je k dieser Teilmengen, und die Behauptung ergibt sich aus ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1}\binom{n}{k} = 1. □

1.3 Lemma Es sei n ∈ ℕ und t|n. Dann hat die zyklische Gruppe C_{n} der Ordnung n genau eine Untergruppe der Ordnung t. Die Automorphismen von C_{n} sind gegeben durch σ_{l} : C_{n} → C_{n} : g ↦ g^{l} für 1 ≤ l ≤ n − 1, ggT(l, n) = 1. Die Menge der Bahnen von C_{n} unter Aut(C_{n}) steht in natürlicher Bijektion zur Menge der Teiler von n : für jeden Teiler t von n bildet die Menge der Elemente der Ordnung t eine Bahn unter der Operation der Automorphismengruppe. Insbesondere gilt |Aut(C_{n})| = φ(n) und ω(C_{n}) = τ(n).

(Siehe z.B. [Hup67], S. 11, Satz 2.20 sowie S. 20/21, Satz 4.6)

1.4 Lemma Es sei p prim, k ∈ ℕ und GF(p^{k}) der (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Körper mit p^{k} Elementen. Dann gilt :

1. Der Körper GF(p^{k}) entsteht aus dem Primkörper GF(p) durch Adjunktion eines beliebigen Elements mit Minimalpolynom vom Grad k.

2. Die Teilkörper von GF(p^{k}) sind genau die GF(p^{t}) mit t|k.

3. Für k_{1}, k_{2} ∈ ℕ ist GF(p^{k_{1}}) ∩ GF(p^{k_{2}}) = GF(p^{ggT(k_{1},k_{2})}).

4. Es sei σ : GF(p^{k}) → GF(p^{k}), x ↦ x^{p} der Frobenius - Automorphismus von GF(p^{k}). Dann ist Aut(GF(p^{k})) = ⟨σ⟩ ≅ C_{k}.

5. Es ist GF(p^{k})^{∗} ≅ C_{p^{k}−1}.

6. In GF(p^{k})\\{0\} (p ≠ 2) gibt es \frac{1}{2}(p^{k} − 1) Quadrate und ebensoviele Nichtquadrate.

(Siehe z.B. [Jun93], S. 15, Satz 1.2.2)

1.5 Definition und Lemma Es sei n ∈ ℕ und q = p^{k} Primzahlpotenz.

1. Die allgemeine lineare Gruppe GL(n, q) vom Grad n über GF(q) besteht aus allen invertierbaren n × n - Matrizen über GF(q). Es gilt

|GL(n, q)| = ∏_{i=0}^{n−1}(q^{n} − q^{i}).

Dies macht man sich am besten folgendermaßen klar :

- Für die erste Spalte gibt es q^{n} −1 Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte).

- Für die folgenden Spalten können noch alle von den bereits gewählten Spaltenvektoren linear unabhängigen Werte eingesetzt werden; da es zu i Spalten q^{i} mögliche Linearkombinationen gibt, ergibt dies für die i + 1. Spalte q^{n} − q^{i} Möglichkeiten. Aufmultiplizieren liefert die angegebene Formel. □

2. Die allgemeine semilineare Gruppe ΓL(n, q) vom Grad n über GF(q) ist die Gruppe der semilinearen Abbildungen des Vektorraums GF(q)^{n}, also der Abbildungen von GF(q)^{n}, die sich als Kompositum einer linearen Abbildung und einer durch einen Automorphismus von GF(q) induzierten Abbildung schreiben lassen. Da der Körper GF(q) nach Lemma 1.4 genau k Automorphismen besitzt, ist

|ΓL(n, q)| = k · |GL(n, q)|.

3. Die projektive allgemeine lineare Gruppe PGL(n, q) vom Grad n über GF(q) entsteht aus GL(n, q) durch Herausfaktorisieren des Zentrums. Wegen |Z(GL(n, q))| = q − 1 gilt

|PGL(n, q)| = \frac{|GL(n, q)|}{q − 1}.

4. Die projektive semilineare Gruppe PΓL(n, q) vom Grad n über GF(q) entsteht aus der Gruppe ΓL(n, q) durch Herausfaktorisieren des Zentrums. Wegen |Z(ΓL(n, q))| = q − 1 gilt

|PΓL(n, q)| = \frac{|ΓL(n, q)|}{q − 1}.

5. Die spezielle lineare Gruppe SL(n, q) vom Grad n über GF(q) besteht aus allen Elementen von GL(n, q) mit Determinante 1. Da die Abbildung det : GL(n, q) → GF(q)^{∗}, A ↦ det(A) ein Homomorphismus und SL(n, q) dessen Kern ist, gilt

|SL(n, q)| = \frac{|GL(n, q)|}{q − 1}.

6. Die projektive spezielle lineare Gruppe PSL(n, q) vom Grad n über GF(q) entsteht aus der Gruppe SL(n, q) durch Herausfaktorisieren des Zentrums. Wegen |Z(SL(n, q))| = ggT(n, q − 1) gilt

|PSL(n, q)| = \frac{|SL(n, q)|}{ggT(n, q − 1)},

und im Falle ggT(n, q − 1) = 1 ist PSL(n, q) ≅ SL(n, q). Es gibt die folgenden exzeptionellen Isomorphien : PSL(2, 2) ≅ S_{3}, PSL(2, 3) ≅ A_{4}, PSL(2, 4) ≅ PSL(2, 5) ≅ A_{5}, PSL(2, 7) ≅ PSL(3, 2), PSL(2, 9) ≅ A_{6} sowie PSL(4, 2) ≅ A_{8}. Für n ≥ 2 und (n, q) ∉ {(2, 2), (2, 3)} ist PSL(n, q) einfach.

(Siehe z.B. [Hup67], S. 178, Hilfssatz 6.2 sowie S. 182f, Sätze 6.13 und 6.14)

1.6 Lemma (Rationale Normalform von Matrizen) Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ und A ∈ GL(n, K). Dann gibt es eindeutig bestimmte d_{1}, …, d_{r} ∈ ℕ und eindeutig bestimmte Matrizen A_{i} ∈ GL(d_{i}, K), i = 1, …, r der Form

A_{i} = ( \begin{matrix}0 & ⋯ & 0 & −a_{i,0} \\ 1 & & 0 & −a_{i,1} \\ & ... & & ⋮ \\ 0 & & 1 & −a_{i,d_{i}−1} \end{matrix} )

so, daß gilt :

1. Es gibt ein S ∈ GL(n, K) mit

S^{−1}AS = ( \begin{matrix}A_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & A_{r} \end{matrix} )

2. χ(A_{1})|χ(A_{2})| … |χ(A_{r})

(χ(A_{i}) = x^{d_{i}} + ∑_{j=0}^{d_{i}−1} a_{i,j}x^{j} ∈ K[x] bezeichne das charakteristische Polynom von A_{i}, es gilt χ(A_{i}) = μ(A_{i}) (Minimalpolynom von A_{i}))

(Vgl. hierzu etwa [Lün87], die angegebene ist nicht die allgemeinste mögliche Form dieser Aussage, genügt im folgenden jedoch vollkommen)

1.7 Lemma Es sei n ∈ ℕ und q Primzahlpotenz.

1. Es sei G ∈ {SL(n, q), GL(n, q)} und ϕ : G → G, x ↦ (x^{−1})^{t}. Für l ∈ ℕ sei ψ_{l} : G → G, x ↦ det(x)^{l}x, und setze

Ψ := {ψ_{l} | 1 ≤ l < q − 1, ggT(ln + 1, q − 1) = 1} .

Dann gilt

Aut(G) = ⟨PΓL(n, q), Ψ, ϕ⟩ .

Ist G = SL(n, q), so gilt natürlich Ψ = {id}. Im Falle G = SL(2, q) ist ϕ ∈ PGL(2, q), und ist G = GL(2, q), so ist ϕ ∈ ⟨PGL(2, q), Ψ⟩, genauer

gilt für alle x ∈ GL(2, q) : ϕ(x) = det(x)^{−1} x^{(\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}.

2. Die Automorphismen von SL(n, q) und PSL(n, q) stehen in natürlicher Bijektion zueinander, d.h., jeder Automorphismus von PSL(n, q) läßt sich als Wirkung eines eindeutig bestimmten Automorphismus von SL(n, q) auf der Menge der Nebenklassen x Z(SL(n, q)) ∈ PSL(n, q) beschreiben. Insbesondere bilden diese Nebenklassen ein Blocksystem bezüglich der Operation von Aut(SL(n, q)) auf SL(n, q).

3. Die Automorphismen von PGL(n, q) = GL(n, q)/Z(GL(n, q)) sind gegeben als Wirkung der Automorphismen von GL(n, q) auf der Menge der Nebenklassen x Z(GL(n, q)) ∈ PGL(n, q). Diese Nebenklassen bilden ein Blocksystem bezüglich der Operation von Aut(GL(n, q)) auf GL(n, q).

(Zum Beweis vgl. [Die51], siehe auch [Die63])

1.8 Definition und Lemma Sei m ∈ ℕ. Setze q := 2^{2m+1}, r := 2^{m+1} und K := GF(q) (Dann ist θ : a ↦ a^{r} ein Automorphismus des Körpers K so, daß θ^{2} = σ_{frob}(K), die Umkehrung von θ ist θ^{−1} : a ↦ a^{2^{m}}). Für a, b ∈ K sei

M(a, b) := ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0 \\ b & a^{r} & 1 & 0 \\ a^{r+2} + ab + b^{r} & a^{r+1} + b & a & 1 \end{matrix} )

und S(q) bezeichne die von allen M(a, b) gebildete Gruppe. Matrixmultiplikation liefert M(a, b) · M(c, d) = M(a + c, a^{r}c + b + d). Jedem κ ∈ K\{0} werde die Diagonalmatrix

( \begin{matrix}κ^{1+2^{m}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & κ^{2^{m}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & κ^{−2^{m}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & κ^{−1−2^{m}} \end{matrix} )

zugeordnet und gleichfalls mit κ bezeichnet. Die Menge K(q) der κ′s bildet eine zyklische Gruppe der Ordnung q − 1, es gilt also K(q) ≅ K^{∗}. Matrixmultiplikation liefert κ^{−1}M(a, b)κ = M(aκ, bκ^{r+1}), die von S(q) und K(q) erzeugte Gruppe H(q) hat also die Ordnung q^{2}(q − 1). Ist nun

T := ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

so ist die Suzuki-Gruppe Sz(q) definiert als das Erzeugnis von H(q) und T. Es gilt für G := Sz(q) :

1. G ist eine einfache Gruppe der Ordnung q^{2}(q − 1)(q^{2} + 1). Die Ordnung von G ist nicht durch 3, aber durch 5 teilbar.

2. Sind t_{1} und t_{2} Teiler von 2m+1, so sind Sz(2^{t_{1}}) und Sz(2^{t_{2}}) Untergruppen von G, und es gilt Sz(2^{t_{1}}) ∩ Sz(2^{t_{2}}) = Sz(2^{ggT(t_{1},t_{2})}).

3. Liegt b in keinem echten Teilkörper von K, so ist G = <M(1, b), T >.

4. G ist eine CN - Gruppe, d.h., jedes vom Neutralelement verschiedene Element von G hat nilpotenten Zentralisator in G.

5. Die 2 - Sylowgruppen von G sind konjugiert zu S(q). Der Exponent von S(q) ist 4, der Normalisator von S(q) in G ist H(q).

6. Die p - Sylowgruppen von G für p ≠ 2 sind zyklisch.

7. G hat zyklische Untergruppen U_{i}(q), i=1, 2 der Ordnungen q + r + 1 bzw. q−r+1. Diese sind Hall-Untergruppen. Die Konjugierten von S(q), K(q), U_{1}(q) und U_{2}(q) bilden eine Partition von G in Untergruppen, und sind daher insbesondere auch TI-Untergruppen von G. (Eine Untergruppe heißt TI-Untergruppe, wenn sie mit allen von ihr verschiedenen Konjugierten einen trivialen Schnitt hat).

8. Es gilt |N_{G}(K(q)) : K(q)| = 2, und für i = 1, 2 ist |N_{G}(U_{i}) : U_{i}| = 4.

9. Alle Involutionen von G sind zueinander konjugiert, es gibt zwei Konjugiertenklassen aus Elementen der Ordnung 4 (diese lassen sich nicht durch einen Automorphismus von G ineinander überführen), ferner gibt es \frac{|K(q)|−1}{2} = \frac{q−2}{2} Konjugiertenklassen, die einen nichttrivialen Schnitt mit K(q) haben, und für i ∈ \{1, 2\} gibt es \frac{|U_{i}|−1}{4} = \frac{q±r}{4} Konjugiertenklassen, die einen nichttrivialen Schnitt mit U_{i}(q) haben. Zusammen mit der Konjugiertenklasse, die das Neutralelement enthält, hat G folglich insgesamt 1 + 1 + 2 + \frac{q−2}{2} + \frac{q+r}{4} + \frac{q−r}{4} = q + 3 Konjugiertenklassen.

10. Out(G) ≅ Aut(K) ≅ C_{2m+1}, genauer : jedes Element von Out(G) hat einen Repräsentanten, der in natürlicher Weise induziert wird durch einen Automorphismus von K. Es bezeichne ς_{q} den Automorphismus von G, der vom Frobenius - Automorphismus von K induziert wird.

11. Im projektiven Raum ℙ(3, q) sei p_{∞} := (1, 0, 0, 0), und für x, y ∈ K sei p(x, y) := (x^{r+2} +xy+y^{r}, y, x, 1). Dann ist das Tits’sche Ovoid O(q) gegeben durch O(q) := {p_{∞}} ∪ {p(x, y) | x, y ∈ K}. Es induziert G auf ℙ(3, q) die Gruppe aller projektiven (d.h. linear induzierten) Kollineationen, die O(q) als Menge stabilisieren. G operiert zweifach transitiv und treu auf O(q). Es gilt G_{p_{∞}} = H(q) und G_{p(0,0)} = K(q), nur das Neutralelement läßt mehr als zwei Punkte fest.

(Siehe [Suz62], insbes. Abschnitte 13, 16 und 17, [HB82], Kapitel XI.3 und XI.5 sowie [Lün80], Abschnitte 21, 22 und 24)

1.9 Satz Die minimalen einfachen Gruppen, also die nicht-abelschen einfachen Gruppen, deren sämtliche echten Untergruppen auflösbar sind, sind gegeben durch

1. PSL(2, 2^{p}) für eine Primzahl p

2. PSL(2, 3^{p}) für eine ungerade Primzahl p

3. PSL(2, p) für eine Primzahl p ≠ 3 mit p^{2} + 1 ≡ 0 (mod 5)

4. PSL(3, 3)

5. Sz(2^{p}) für eine ungerade Primzahl p

(Dies wird hergeleitet in [Tho68], vgl. Korollar 1 in Abschnitt 3 auf Seite 388).

1.10 Definition und Satz Eine Zassenhaus - Gruppe ist eine endliche zweifach transitive Permutationsgruppe, deren einziges Element, das mehr als zwei Punkte fixiert, das Neutralelement ist und die keinen regulären Normalteiler hat. Die einfachen Zassenhaus-Gruppen sind gegeben durch

1. PSL(2, q) für Primzahlpotenzen q > 3

2. Die Suzuki-Gruppen Sz(q)

(Siehe [HB82], Kapitel XI, Definition 1.2 und Beispiele 1.3; dort findet sich auch eine Beschreibung der übrigen (nicht-einfachen) Zassenhaus-Gruppen).

Die linearen Gruppen

2.1 Lemma Es sei q Primzahlpotenz und G ∈ {SL(2, q), GL(2, q)}.

1. Setze

𝔎 := Z(GL(2, q)) ∪ \{( \begin{matrix}0 & b \\ 1 & a \end{matrix} ) | a, b ∈ GF(q), b ≠ 0\} .

Dann bildet 𝔎 ∩ G ein Repräsentantensystem für die Menge der Konjugiertenklassen von G, es gibt also ein Repräsentantensystem ℜ ⊆ 𝔎 ∩ G für die Menge der Bahnen in G unter der Operation von Aut(G).

2. Die Menge

𝔎 := \{ \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , \\ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) , \\ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) \end{matrix} \}

bildet ein Repräsentantensystem für die Menge der Konjugiertenklassen von SL(3, 3).

Beweis :

1. Diese Aussage ist eine unmittelbare Konsequenz aus Lemma 1.6 (man mache sich klar, welche Blockstrukturen rationaler Normalformen von Elementen von GL(2, q) vorkommen; wegen SL(2, q) ⊴ GL(2, q) überträgt sich dies problemlos auf SL(2, q)).

2. Hier gilt Entsprechendes; man beachte, daß es in GF(3) keine von 1 verschiedene 3. Einheitswurzel gibt, das Zentrum von SL(3, 3) also trivial ist, und daß sich eine Matrix mit 1 × 1 − 2 × 2 - Blockstruktur nur dann in rationaler Normalform befindet, wenn das Minimalpolynom des 2 × 2 - Blocks durch das des 1 × 1 - Blocks teilbar ist. □

2.2 Lemma Es sei n ∈ ℕ, q Primzahlpotenz und A ∈ GL(n, q). Befindet sich die Matrix A in rationaler Normalform, so ändert sich an dieser Eigenschaft nichts, wenn man auf jeden Eintrag einen fest gewählten Automorphismus von GF(q) anwendet.

Beweis : Nach Lemma 1.6 genügt es zu zeigen, daß die Teilbarkeitsrelationen der charakteristischen Polynome der Blöcke von A erhalten bleiben. Aufgrund der Gestalt der betrachteten Blöcke ist es hierzu hinreichend, daß die Teilbarkeitsbeziehung P_{2}|P_{1} zweier Polynome P_{1}, P_{2} ∈ GF(q)[x] erhalten bleibt, wenn man auf jeden Koeffizienten einen festen Körperautomorphismus α anwendet. Dies trifft jedoch zu, da es im Falle P_{2}|P_{1} ein P_{3} ∈ GF(q)[x] mit P_{1} = P_{2} · P_{3} gibt, und sich an der Gültigkeit dieser Gleichung durch Anwenden von α auf alle Koeffizienten nichts ändert, zumal die Koeffizienten von P_{1} Summen von Produkten von Koeffizienten von P_{2} und P_{3} sind und sich die Reihenfolge von Addition bzw. Multiplikation und der Anwendung von Körperautomorphismen umkehren läßt. □

2.3 Lemma Es sei p prim und k ∈ ℕ. Für einen endlichen Körper K bezeichnen wir mit ω(K) die Anzahl der Bahnen, in die K unter der Operation seiner Automorphismengruppe zerfällt, und für eine Menge M von Teilern von k sei - hier wie im ganzen Rest der Arbeit - T_{k,M} := ggT_{t∈M} \frac{k}{t}. Dann gilt :

ω(GF(p^{k})) = \frac{p^{k}}{k} + ∑_{∅≠M⊆π(k)}(−1)^{|M|} (\frac{p^{T_{k,M}}}{k} − ω(GF(p^{T_{k,M}})))

Beweis : Die Menge GF(p^{k})_{max} der in keinem echten Teilkörper von GF(p^{k}) liegenden Elemente von GF(p^{k}) zerfällt unter der Operation von Aut(GF(p^{k})) in Bahnen der Länge k = |Aut(GF(p^{k}))|, da von diesen Elementen als Nullstellen irreduzibler Polynome vom Grad k über GF(p) jeweils k zueinander konjugiert sind. Aus Lemma 1.4, Teil 2 und 3 sowie Lemma 1.2 folgt :

|GF(p^{k})_{max}| = |GF(p^{k})| − | ⋃_{t|k,t≠k} GF(p^{t})|

= p^{k} − | ⋃_{t∈π(k)} GF(p^{\frac{k}{t}})|

= p^{k} − ∑_{∅≠M⊆π(k)}(−1)^{|M|+1} p^{T_{k,M}}

Anwenden von Lemma 1.2 auf die Mengen der Bahnen der maximalen Teilkörper von GF(p^{k}) liefert nun die Behauptung. □

2.4 Satz Sei p prim und k ∈ ℕ.

1. Es gilt

ω(SL(2, p)) = \begin{cases}3 & falls p = 2 \\ p + 2 & sonst \end{cases}

Für k > 1 gilt

ω(SL(2, p^{k})) = ω(GF(p^{k})) + \begin{cases}1 & falls p = 2 \\ 2 & sonst \end{cases}
= \frac{p^{k}}{k} + ∑_{∅≠M⊆π(k)}(−1)^{|M|} (\frac{p^{T_{k,M}}}{k} − ω(SL(2, p^{T_{k,M}})))

2. Für p = 2 ist PSL(2, p^{k}) ≅ SL(2, p^{k}). Für ungerades p gilt

ω(PSL(2, p)) = \frac{p + 3}{2}

und

\begin{matrix}ω(PSL(2, p^{k})) = & \frac{p^{k} + H(p, k)}{2k} \\ + & ∑_{∅≠M⊆π(k)}(−1)^{|M|} (\frac{p^{T_{k,M}}}{2k} − ω(PSL(2, p^{T_{k,M}}))) \end{matrix}

wobei

H(p, k) = \begin{cases}0 & falls 2 ∤ k \\ p^{\frac{k}{2}} − 1 & falls k Zweierpotenz \\ p^{\frac{k}{2}} + ∑_{∅≠M⊆π(k)\\{2\}} (−1)^{|M|} p^{ggT^{t∈M} ^{\frac{k}{2t}}} & sonst \end{cases}

Beweis : Wir wählen aus

𝔎 := \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )\} ∪ \{( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & a \end{matrix} ) | a ∈ GF(p^{k})\}

ein Repräsentantensystem ℜ für die Menge der Bahnen von SL(2, p^{k}) unter der Operation von Aut(SL(2, p^{k})). (Diese Wahl von ℜ ist möglich gemäß Lemma 2.1). Zu bestimmen ist |ℜ|. Bahnenzerlegung induziert auf 𝔎\Z(SL(2, p^{k})) eine Partition in Mengen der Form

𝔎_{a} = \{( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & a^{p^{i}} \end{matrix} ) | i = 0, …, k − 1\}

für a ∈ GF(p^{k}), denn sind X, Y ∈ SL(2, p^{k}) in rationaler Normalform und lassen sich unter der Operation von Aut(SL(2, p^{k})) ineinander überführen, so genügt dafür ein Körperautomorphismus α, angewandt auf die jeweiligen Einträge :

((g^{−1}Xg)^{α} = Y ⇔ g^{−1}Xg = Y^{α^{−1}}) ⟹_{Lemma 1.6} X = g^{−1}Xg, X^{α} = Y

(vgl. Lemma 1.7). Die Gleichung aus Teil (1) für Primkörper sowie die erste Gleichung für den Fall k > 1 ergeben sich jetzt direkt aus dem Umstand, daß die beiden Bahnen im Zentrum von SL(2, p^{k}) für p = 2 zusammenfallen; die verbleibende Gleichung erhalten wir dann daraus mit Lemma 2.3 und Lemma 1.1.

Wir betrachten nun die Gruppen PSL(2, p^{k}) für ungerade Primzahlen p. Es bezeichne κ : SL(2, p^{k}) → PSL(2, p^{k}), x ↦ x Z(SL(2, p^{k})) die kanonische Projektion. Uns interessiert deren Verhalten auf der Menge 𝔎. Wegen

( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −a \end{matrix} )^{κ} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & a \end{matrix} )^{κ} und ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & a \end{matrix} )^{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & a \end{matrix} )

fusionieren 𝔎_{−a} und 𝔎_{a} unter κ, ebenso wie die beiden im Zentrum von SL(2, p^{k}) liegenden Bahnen. Da die Automorphismen von SL(2, p^{k}) und PSL(2, p^{k}) in natürlicher Bijektion zueinander stehen (Lemma 1.7, Teil 2), können wir nun nach obigem o.B.d.A. a ∈ GF(p^{k})_{max} annehmen und die übrigen Fälle mit Lemma 1.2 abhandeln. Im Fall a = −a^{p^{i}} für ein i ∈ ℕ ist 𝔎_{−a} = 𝔎_{a}, wir erhalten also eine Bahn der Länge k, andernfalls eine der Länge 2k. Es bezeichne H(p, k) die Anzahl der Elemente, die in Bahnen der Länge k liegen. Für ungerade k ist offensichtlich H(p, k) = 0. Der Fall a = −a^{p^{i}} tritt genau dann ein, wenn a und −a zueinander konjugiert, also Lösung einer irreduziblen quadratischen Gleichung (x − a)(x + a) = x^{2} − a^{2} = x^{2} − b = 0 über GF(p^{\frac{k}{2}} ) sind. Zu jedem Nichtquadrat b ∈ GF(p^{\frac{k}{2}} ), dessen Quadratwurzeln in keinem echten Teilkörper von GF(p^{k}) liegen, gibt es folglich zwei derartige Elemente. Da es nach Lemma 1.4, Teil 6 für t ∈ ℕ in GF(p^{t}) genau \frac{1}{2}(p^{t} − 1) Nichtquadrate gibt, ergeben sich mit Lemma 1.4, Teil 2 und 3 sowie Lemma 1.2 die angegebenen Formeln für H(p, k) für gerade k. Analog wie beim Beweis von Teil (1) erhalten wir jetzt die Behauptung. □

2.5 Beispiel Da GF(729) der kleinste Körper mit ungerader Charakteristik und bezüglich der Inklusionsrelation nicht totalgeordnetem Teilkörperverband ist, wollen wir zur Illustration des im Beweis dargestellten Gedankenganges exemplarisch den Wert von ω(PSL(2, 729)) bestimmen.

Hierzu zählen wir die zu SL(2, 729) gehörigen Mengen 𝔎_{a}, und wenden das im Beweis angegebene Kriterium für die Gleichheit von 𝔎_{a} und 𝔎_{−a} an. Jeweils separat zu zählen sind die durch {𝔎_{a}, 𝔎_{−a}} gegebenen Äquivalenzklassen mit \underbrace{a ∈ GF(3)}_{Fall 1} , \underbrace{a ∈ GF(9)_{max}}_{Fall 2} , \underbrace{a ∈ GF(27)_{max}}_{Fall 3} sowie \underbrace{a ∈ GF(729)_{max}}_{Fall 4} :

- Fall 1 liefert eine Klasse der Länge 1 (für a = 0) und eine der Länge 2.

- Es ist |GF(9)_{max}| = 9 − 3 = 6. In GF(3) gibt es ein Nichtquadrat, folglich liefert Fall 2 eine Klasse der Länge 1 und eine der Länge 2.

- Es ist |GF(27)_{max}| = 27 − 3 = 24. Da 27 keine Quadratzahl ist, gibt es in Fall 3 nur Klassen der Länge 2, und zwar \frac{24}{6} = 4 Stück.

- Es ist |GF(729)_{max}| = 729 − 27 − 9 + 3 = 696. In GF(27)_{max} gibt es \frac{|GF(27)_{max}|}{2} = 12 Nichtquadrate, Fall 4 liefert folglich \frac{2·12}{6} = 4 Klassen der Länge 1 und \frac{696−2·12}{12} = 56 Klassen der Länge 2.

Aufsummieren der gegebenen Klassenanzahlen sowie Berücksichtigung der Bahn des Neutralelements liefert als Ergebnis ω(PSL(2, 729)) = 69. □

2.6 Korollar Für prime p und k ∈ ℕ gilt :

1.

ω(SL(2, p^{k})) > \frac{p^{k}}{k} , ω(PSL(2, p^{k})) > \frac{p^{k}}{(2 − δ_{2,p})k}

2.

lim_{k→∞} \frac{ω(SL(2, p^{k}))}{\frac{p^{k}}{k}} = lim_{k→∞} \frac{ω(PSL(2, p^{k}))}{\frac{p^{k}}{(2−δ_{2,p})k}} = 1

3. Es sei p ≠ 2 und k prim. Dann gilt :

ω(SL(2, p^{k})) = \frac{p^{k} + (k − 1)p + 2k}{k}

Ist k ≠ 2, so gilt :

ω(PSL(2, p^{k})) = \frac{p^{k} + (k − 1)p + 3k}{2k}

Beweis :

1. Diese Ungleichungen gelten, da kein 𝔎_{a} länger als k ist, unter κ nie mehr als je zwei 𝔎_{a} fusionieren und da die Bahn des Neutralelements keine der Mengen 𝔎_{a} trifft (vgl. den Beweis des Satzes).

2. Die Anzahl der maximalen Teilkörper von GF(p^{k}) ist gleich der Anzahl der verschiedenen Primteiler von k, also sicher nicht größer als log_{2}(k). Für einen maximalen Teilkörper K von GF(p^{k}) gilt |K| ≤ p^{\frac{k}{2}} , und SL(2, K) zerfällt unter der Operation von Aut(SL(2, p^{k}))_{{SL(2,K)}} in nicht mehr als |K| + 2 Bahnen. Wegen |𝔎_{a}| = k für a ∈ GF(p^{k})_{max} (vgl. den Beweis des Satzes) gilt

ω(SL(2, p^{k})) ≤ \frac{p^{k}}{k} +(p^{\frac{k}{2}} +2) log_{2}(k)+2 = (1+\underbrace{\frac{k(p^{\frac{k}{2}} + 2) log_{2}(k) + 2k}{p^{k}}}_{→0 für k→∞})\frac{p^{k}}{k} ,

und mit der Ungleichung aus Teil (1) folgt die Behauptung. Die Aussage für ω(PSL(2, p^{k})) zeigt man völlig analog.

3. Diese Gleichungen folgen direkt durch Einsetzen in die Formeln im 1. bzw. 2. Teil des Satzes. □

2.7 Satz Sei q = p^{k} Primzahlpotenz. Dann gilt ω(PGL(2, q)) = ω(SL(2, q)).

Beweis : Es kann o.B.d.A. q ungerade angenommen werden (ansonsten ist ohnehin PGL(2, q) ≅ SL(2, q)). Wir gehen analog vor wie im Beweis von Satz 2.4. Es bezeichne κ : GL(2, q) → PGL(2, q), x ↦ x Z(GL(2, q)) die kanonische Projektion. Es seien a, b, c ∈ GF(q). Die rationale Normalform von

( \begin{matrix}0 & b \\ 1 & a \end{matrix} ) ( \begin{matrix}c & 0 \\ 0 & c \end{matrix} ) ist ( \begin{matrix}0 & bc^{2} \\ 1 & ac \end{matrix} ),

also fallen für alle a, b, c die Bahnen von

( \begin{matrix}0 & b \\ 1 & a \end{matrix} ) ∈ GL(2, q) und ( \begin{matrix}0 & bc^{2} \\ 1 & ac \end{matrix} ) ∈ GL(2, q)

unter der Operation von Aut(GL(2, q)) unter κ zusammen. Zu a = 0 erhalten wir also zwei Bahnen von PGL(2, q) unter der Operation von Aut(PGL(2, q)) : je eine für b Quadrat und b Nichtquadrat in GF(q). Im Falle a ≠ 0 wählen wir c := a^{−1}. Wir sehen hier nun, daß es genügt, die durch Bahnenzerlegung auf der Menge

𝔎 := \{( \begin{matrix}0 & d \\ 1 & 1 \end{matrix} ) | d ∈ GF(q)\}

induzierte Partition zu betrachten. Mit fast wörtlich derselben Argumentation wie im Beweis von Satz 2.4 schließen wir, daß die Elemente dieser Partition von der Gestalt

𝔎_{d} = \{( \begin{matrix}0 & d^{p^{i}} \\ 1 & 1 \end{matrix} ) | i = 0, …, k − 1\}

für d ∈ GF(q)\{0} sind. Bestimmen wir nun deren Anzahl unter Verwendung von Lemma 2.3 und berücksichtigen schlußendlich noch die Bahn des Neutralelements, so erhalten wir durch Vergleich mit Satz 2.4, Teil 1 die Behauptung. □

2.8 Lemma Es sei q ungerade Primzahlpotenz, G := GL(2, q) und Z := Z(G). Dann lassen sich alle Automorphismen von Z zu Automorphismen von ganz G fortsetzen.

Beweis : Es sei Ψ wie in Lemma 1.7, ψ_{l} ∈ Ψ und a ∈ GF(q). Dann gilt

ψ_{l} ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) = a^{2l} ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a^{2l+1} & 0 \\ 0 & a^{2l+1} \end{matrix} ) .

Da q − 1 gerade ist, lassen sich alle zu q − 1 teilerfremden Zahlen l̃ in der Form l̃ = 2l + 1 schreiben, es gibt also zu jedem Automorphismus σl̃ von Z ≅ C_{q−1} (vgl. Lemma 1.3) einen Automorphismus ψ_{l} ∈ Ψ ⊆ Aut(G) so, daß ψ_{l}|_{Z} = σl̃. □

2.9 Lemma Sei p ≠ 2 prim und t = 2r ein gerader Teiler von p − 1. Dann gibt es ein s ∈ \{0, …, \frac{p−1}{t} − 1\} so, daß für l := (2s + 1)r gilt : ggT(2l + 1, p − 1) = 1.

Beweis : Wegen r|l gilt ggT(2l + 1, t) = 1, es genügt also zu zeigen, daß es ein l mit den geforderten Eigenschaften so gibt, daß für den größten zu t teilerfremden Teiler t̃ von p − 1 die Bedingung ggT(2l + 1, t̃) = 1 erfüllt ist. Da jedoch l und damit wegen 2 ∤ t̃auch 2l +1 für s = 0, …, \frac{p−1}{t} −1 ein vollständiges Restsystem (mod t̃) durchläuft und φ(t̃) > 0 ist, ist dies stets der Fall. □

2.10 Satz Sei p ≠ 2 prim. Dann gilt

\begin{matrix}ω(GL(2, p)) = & 2τ(p − 1) + ∑_{t|p−1} \frac{p − 1}{ggT(t, 2)} \\ = & (p + 1) τ(p − 1) − \frac{p − 1}{2} τ (\frac{p − 1}{2}) \end{matrix}

Beweis : Wir setzen G := GL(2, p) sowie Z := Z(G), und wählen aus

𝔎 := Z ∪ \{M(a, b) := ( \begin{matrix}0 & b \\ −1 & a \end{matrix} ) | a, b ∈ GF(p), b ≠ 0\}

ein Repräsentantensystem ℜ für die Menge der Bahnen von G unter der Operation von Aut(G). (Diese Wahl ist möglich, da für alle a, b ∈ GF(p) die Matrix −M(−a, b) ∼ M(a, b) in rationaler Normalform ist, und die Menge der M(a, b) damit nach Lemma 2.1 ein Repräsentantensystem für die Menge der zu G\Z gehörigen Konjugiertenklassen von G bildet). Die Gruppe Z ≅ C_{p−1} zerfällt nach Lemma 1.3 unter der Operation von Aut(Z) in τ(p − 1) Bahnen. Da sich nach Lemma 2.8 alle Automorphismen von Z zu Automorphismen von ganz G fortsetzen lassen, impliziert dies |ℜ ∩ Z| = τ(p − 1). Es verbleibt die Untersuchung von 𝔎\Z. Wir betrachten zunächst den Fall a = 0. Hierzu sei 𝔅 := {M(0, b) | b ∈ GF(p)^{∗}}. Es gilt

ψ_{l}(M(0, b)) = ( \begin{matrix}0 & b^{l+1} \\ −b^{l} & 0 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}0 & b^{2l+1} \\ −1 & 0 \end{matrix} ) = M(0, b^{2l+1}),

und da p − 1 gerade ist, läßt sich jeder zu p − 1 teilerfremde Exponent in der Form 2l + 1 schreiben, Aut(G)_{{𝔅}} operiert also nach Lemma 1.3 auf 𝔅 wegen GF(p)^{∗} ≅ C_{p−1} wie Aut(C_{p−1}) auf C_{p−1}, die Menge 𝔅 zerfällt somit unter dieser Operation in τ(p − 1) Bahnen. Da sich kein Element von 𝔅 durch einen Automorphismus der Gruppe G auf ein Element von 𝔎\𝔅 abbilden läßt, erhalten wir |ℜ∩𝔅| = τ(p−1). Ist ord(b) = t, so hat die Bahn von M(0, b) unter der Operation von Aut(G)_{{𝔅}} die Länge φ(t). (Vgl. Lemmata 1.3, 1.4 und 1.7). Im Fall a ≠ 0 gilt für ungerade t Entsprechendes, für gerade t fusionieren zusätzlich noch die Bahnen von M(a, b) und M(−a, b) unter der Operation von Aut(G), was eine Verdopplung der Länge der Bahn von M(a, b) von 𝔎 unter der Operation von Aut(G)_{{𝔎}} auf 2φ(t) bewirkt, denn für l ∈ ℕ gilt

ψ_{l}(M(a, b)) = ( \begin{matrix}0 & b^{l+1} \\ −b^{l} & ab^{l} \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}0 & b^{2l+1} \\ −1 & ab^{l} \end{matrix} ) = M(ab^{l}, b^{2l+1})

sowie b^{l} ≠ 1 ∧ b^{2l+1} = b ⇔ ord(b) ∤ l ∧ ord(b) | 2l ⇔ b^{l} = −1, die Existenz eines geeigneten ψ_{l} ∈ Ψ folgt aus Lemma 2.9. Summation über die möglichen Ordnungen von b, also die Teiler von p − 1, liefert den behaupteten Wert für ω(GL(2, p)). Die Gültigkeit der zweiten Formel ergibt sich dann daraus, daß die Anzahl der geraden Teiler von p − 1 gleich τ(\frac{p−1}{2}) ist. □

2.11 Satz Es gilt ω(PSL(3, 3)) = 9.

Beweis : Es sei G := SL(3, 3). Da Z(G) trivial ist (siehe Lemma 1.5 oder den Beweis von Lemma 2.1), ist G ≅ PSL(3, 3). Es sei ϕ wie in Lemma 1.7 und 𝔎 das in Lemma 2.1 angegebene Repräsentantensystem für die Konjugiertenklassen von G. Nach Lemma 1.7 genügt es zu untersuchen, welche Konjugiertenklassen durch ϕ fusioniert werden. Da ϕ auf 1 × 1 - Blöcken wie die Identität und auf 2×2 - Blöcken wie eine Konjugation wirkt, reicht es, die Wirkung von ϕ auf den Konjugiertenklassen zu betrachten, deren Elemente eine rationale Normalform A besitzen, die aus einem einzigen 3 × 3 - Block besteht. Ist

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & a \end{matrix} ) ,

so ist χ(A) = x^{3} − ax^{2} − bx − 1, und ϕ(A) ist konjugiert zur Begleitmatrix von χ(ϕ(A)) = −x^{3}(χ(A)(\frac{1}{x})) = −x^{3}((\frac{1}{x})^{3} − a(\frac{1}{x})^{2} − b(\frac{1}{x}) − 1) = x^{3} + bx^{2} + ax − 1 :

ϕ(A) ∼ ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & −a \\ 0 & 1 & −b \end{matrix} ) ,

und wenn wir uns jetzt dazu das Repräsentantensystem 𝔎 für die Konjugiertenklassen von G anschauen, sehen wir, daß von den in Frage kommenden neun Matrizen sechs jeweils paarweise durch Automorphismen von G ineinander übergeführt werden können. Es ist also ω(G) = |𝔎| − \frac{6}{2} = 12 − 3 = 9. □

2.12 Bemerkung Die Gruppe PSL(3, 3) ≅ SL(3, 3) =: G hat die Ordnung \frac{1}{2}(3^{3} − 1)(3^{3} − 3)(3^{3} − 3^{2}) = 2^{4} · 3^{3} · 13 = 5616, und enthält Elemente der Ordnungen 1, 2, 3, 4, 6, 8 und 13. Bringen wir die im Beweis des Satzes konstruierten Repräsentanten auf Jordan’sche Normalform, so erhalten wir das folgende Repräsentantensystem für die Menge der Bahnen in der Gruppe G unter der Operation von Aut(G) :

\underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )}_{Ordnung 1, Bahnlänge 1}, \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )}_{Ordnung 2, Bahnlänge 117}, \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} )}_{Ordnung 4, Bahnlänge 702},

\underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )}_{Ordnung 3, Bahnlänge 104}, \underbrace{( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )}_{Ordnung 3, Bahnlänge 624}, \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )}_{Ordnung 6, Bahnlänge 936},

\underbrace{(\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )}_{Ordnung 8, Bahnlänge 1404} ,  \underbrace{( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ −1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )}_{Ordnung 13, Bahnlänge jeweils 864}

(Die Bahnlängen wurden mit Hilfe von GAP berechnet)

Die Suzuki - Gruppen

Wir nehmen in diesem Kapitel laufend Bezug auf Lemma 1.8 und übernehmen die dortigen Bezeichnungen.

3.1 Lemma Es sei n ungerade, s ein Teiler von n und q = 2^{n} = q̃^{s}. Dann gilt :

ggT(q^{2} + 1, |GL(4, q̃)|) | q̃^{2} + 1

Beweis : Nach Lemma 1.5 gilt

\begin{matrix}|GL(4, q̃)| = & (q̃^{4} − 1)(q̃^{4} − q̃)(q̃^{4} − q̃^{2})(q̃^{4} − q̃^{3}) \\ = & q̃^{6}(q̃ − 1)^{2}(q̃^{2} − 1)^{2}(q̃^{2} + 1)(q̃^{2} + q̃ + 1), \end{matrix}

daher genügt es zu zeigen, daß q^{2} + 1 = q̃^{2s} + 1 zu q̃− 1, q̃^{2} − 1 und q̃^{2} + q̃+ 1 teilerfremd ist :

- Wegen (q̃ − 1)|(q̃^{2s} − 1) läßt q̃^{2s} + 1 bei Division durch q̃ − 1 den Rest 2. Die Teilerfremdheitsbedingung ist erfüllt, da q̃ − 1 ungerade.

Ersetzen von q̃−1 durch q̃^{2}−1 liefert die gesuchte Aussage für den zweiten der genannten Faktoren.

- Polynomdivision von q̃^{2s} + 1 durch q̃^{2} + q̃+ 1 liefert für s ≡ 0 (mod 3) den Rest 2, für s ≡ 1 (mod 3) den Rest −q̃ und für s ≡ 2 (mod 3) den Rest q̃+ 1. Da dieser stets teilerfremd zum Divisor ist, folgt die Behauptung. □

3.2 Definition Es bezeichne

1. Σ die von ς_{q} erzeugte zyklische Gruppe, wobei wir den Automorphismus ς_{q} von Sz(q) mit seiner nat. Fortsetzung auf ganz GL(4, q) identifizieren,

2. Sz(q)_{max} die Menge aller Elemente von Sz(q), die zu keinem Element einer Unter-Suzuki-Gruppe Sz(q̃) ⪇ Sz(q) (mit q̃ = 2^{t} für einen Teiler t von n) konjugiert sind (Sz(q)_{max} ⊂ Sz(q) ist offensichtlich charakteristisch),

3. 𝔎_{K(q)_{max}} die Menge der Konjugiertenklassen von Sz(q), die einen nichtleeren Schnitt mit K(q)_{max} := K(q) ∩ Sz(q)_{max} haben und

4. 𝔎_{U_{i}(q)_{max}} (i = 1, 2) die Menge der Konjugiertenklassen von Sz(q), deren Schnitt mit U_{i}(q)_{max} := U_{i}(q) ∩ Sz(q)_{max} nicht leer ist.

3.3 Lemma Die Gruppe Σ operiert halbregulär auf den Mengen 𝔎_{K(q)_{max}} und 𝔎_{U_{i}(q)_{max}} (i = 1, 2).

Beweis :

- Da sich Exponentiation und Anwendung von Automorphismen in der Reihenfolge vertauschen lassen, operiert Σ auf K(q) wie Aut(K) auf K\{0}, und damit auch auf K(q)_{max} wie Aut(K) auf K_{max}. Weil K(q) TI-Unter-gruppe von Sz(q) und |N_{Sz(q)}(K(q)) : K(q)| = 2 ist, liegen höchstens jeweils zwei Elemente von K(q)_{max} ⊆ K(q)\{1} in jeder der betrachteten Konjugiertenklassen. Wegen κ^{T} = κ^{−1} für κ ∈ K(q) sind es jedoch auch mindestens zwei Elemente, und zwar jeweils Paare der Form (κ, κ^{−1}). Da die Menge der in K(q)_{max} liegenden Paare (κ, κ^{−1}) ein Blocksystem für die Operation von Σ auf K(q)_{max} bildet und n ungerade ist, operiert Σ wie behauptet halbregulär auf 𝔎_{K(q)_{max}}.

- Es sei i ∈ {1, 2} und g ein Element von U_{i}(q)_{max}. Wir zeigen zunächst, daß g als Element von GL(4, q) zu keinem Element einer Untergruppe GL(4, q̃) ⪇ GL(4, q) (mit q̃ = \sqrt[s]{q} für einen Teiler s von n) konjugiert ist. Da U_{i}(q) als zyklische Gruppe nach Lemma 1.3 zu jedem Teiler t der Gruppenordnung genau eine Untergruppe der Ordnung t besitzt, ist die Ordnung von g sicher kein Teiler der Ordnung von U_{i}(q̃) ⪇ U_{i}(q), und wegen ggT(|U_{1}(q)|, |U_{2}(q)|) = 1 und |U_{3−i}(q̃)| | |U_{3−i}(q)| auch keiner von |U_{1}(q̃)| · |U_{2}(q̃)| = q̃^{2} + 1. Wegen |U_{1}(q)| · |U_{2}(q)| = q^{2} + 1 ist ord(g) ein Teiler von q^{2} + 1, nach Lemma 3.1 jedoch keiner der Ordnung von GL(4, q̃). Daher ist g wie behauptet zu keinem Element von GL(4, q̃) konjugiert, und die rationale Normalform von g enthält somit einen Eintrag aus GF(q)_{max}. Deren Bahn unter der Operation von Σ hat folglich offensichtlich die Länge n, und die Elemente dieser Bahn sind nach Lemma 2.2 alle ebenfalls in rationaler Normalform, liegen nach Definition derselbigen also in paarweise verschiedenen Konjugiertenklassen. Folglich operiert Σ wie behauptet ebenfalls halbregulär auf der Menge 𝔎_{U_{i}(q)_{max}}. □

3.4 Hauptsatz Es sei m ∈ ℕ, n := 2m + 1 und q := 2^{n}. Dann gilt :

ω(Sz(q)) = ω(PSL(2, q)) + 2

Beweis : Aus argumentationstechnischen Gründen lassen wir die Konstruktion von Sz(q) auch für q = 2 zu (es ist dann Sz(2) ≅ ⟨(2 4 3 5), (1 2)(3 4)⟩). Sei nun q > 2 und g ∈ Sz(q)_{max}. Dann ist g zu keinem seiner Bilder unter einer von der Identität verschiedenen Potenz des Automorphismus ς_{q} konjugiert (g ∼ ς_{q}^{k}(g) ⇒ n|k), denn die Konjugierten von S(q), K(q), U_{1}(q) und U_{2}(q) bilden eine Partition von Sz(q) in Untergruppen, S(q) ∩ Sz(q)_{max} = ∅ und die Gruppe Σ operiert nach Lemma 3.3 halbregulär auf den Mengen 𝔎_{K(q)_{max}} und 𝔎_{U_{i}(q)_{max}} (i = 1, 2). Weil die Menge der Elemente von Σ ein Repräsentantensystem für die Menge der Elemente von Out(Sz(q)) = Aut(Sz(q))/ Inn(Sz(q)) bildet, fusionieren deshalb von den zu Sz(q)_{max} gehörigen Konjugiertenklassen von Sz(q) unter der Operation von Aut(Sz(q)) jeweils n Stück. Zumal nun eine beliebige Unter-Suzuki-Gruppe Sz(q̃) ≤ Sz(q) insgesamt q̃+3 Konjugiertenklassen besitzt, führt dies mit praktisch derselben Argumentation wie im Beweis von Lemma 2.3 zu

ω(Sz(q)) = \frac{q + 3}{n} + ∑_{∅≠M⊆π(n)}(−1)^{|M|} (\frac{2^{T_{n,M}} + 3}{n} − ω(Sz(2^{T_{n,M}}))) .

Da der Summand ’\frac{3}{n}’ nach Lemma 1.1 genauso oft addiert wie subtrahiert wird, erhalten wir wegen ω(Sz(2)) = 5 = ω(PSL(2, 2))+2 (vgl. Bemerkung 3.6) durch Vergleich mit dem Resultat für PSL(2, q) in Satz 2.4 die Behauptung. □

3.5 Korollar Über die Aussage des Hauptsatzes hinaus ergibt sich als unmittelbare Konsequenz aus dessen Beweis, daß die Bahnenzerlegungen der Mengen der zu keinem Element von Sz(2) bzw. PSL(2, 2) konjugierten Elemente von Sz(q) bzw. PSL(2, q) auf die folgende Weise in bijektiver Korrespondenz zueinander stehen : bezeichnen wir mit PSL(2, q)_{max} die Menge der zu keinem Element einer Untergruppe PSL(2, q̃) ⪇ PSL(2, q) konjugierten Elemente von PSL(2, q), so zerfällt Sz(q)_{max} unter der Operation von Aut(Sz(q)) in genauso viele Bahnen wie PSL(2, q)_{max} unter der von Aut(PSL(2, q)); dasselbe gilt damit natürlich auch für sämtliche Paare entsprechender Untergruppen über beliebigen Teilkörpern - dies wird in Abbildung 3.1 für q = 2^{n}, n = p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} (p_{1}, p_{2} ungerade Primzahlen, k_{1}, k_{2} ∈ ℕ) illustriert. Dort stehen die Felder für die jeweils gleichgroßen Mengen der Bahnen, in die die Mengen der zu Elementen der beiden angegebenen Mengen konjugierten Elemente unter der Operation von Aut(Sz(q)) bzw. Aut(PSL(2, q)) zerfallen. Die Beschränkung auf Exponenten mit höchstens zwei verschiedenen Primfaktoren ist willkürlich und lediglich durch die Dimension des Papiers bedingt.

3.6 Bemerkung Wir wollen die Bahnenzerlegungen der Gruppen Sz(2) und PSL(2, 2) miteinander vergleichen.

Der besseren Übersichtlichkeit halber verwenden wir die oben bereits genannte Permutationsdarstellung von Sz(2) : ein Gruppenisomorphismus von Sz(2) auf G := ⟨(2 4 3 5), (1 2)(3 4)⟩ ist gegeben durch f : M(1, 1) ↦ (2 4 3 5), T ↦ (1 2)(3 4). Die Gruppe G zerfällt unter der Operation ihrer Automorphismengruppe in folgende 5 Bahnen :

{()},
{(2 3)(4 5), (1 2)(3 4), (1 3)(2 5), (1 4)(3 5), (1 5)(2 4)},
{(2 4 3 5), (1 2 5 4), (1 3 4 5), (1 4 2 3), (1 5 3 2)},
{(2 5 3 4), (1 2 3 5), (1 3 2 4), (1 4 5 2), (1 5 4 3)},
{(1 2 4 5 3), (1 3 5 4 2), (1 4 3 2 5), (1 5 2 3 4)}.

Die Bahnenzerlegung der Gruppe SL(2, 2) ≅ PSL(2, 2) ≅ S_{3} ist

\{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}, \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}, \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )\} .

Wir sehen hieran, daß die jeweiligen Bahnen aus Elementen der Ordnungen 1 und 2 einander jeweils sozusagen ’direkt’ entsprechen, daß die Bahn aus Elementen der Ordnung 5 in Sz(2) eine ähnliche Rolle spielt wie die aus Elementen der Ordnung 3 in PSL(2, 2), und daß die beiden gewissermaßen ’überzähligen’ Bahnen in Sz(2) diejenigen aus Elementen der Ordnung 4 sind.

[figure: Sz(2) / PSL(2, 2); 5 bzw. 3 Bahnen; Sz(2^{p_{1}})_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}})_{max}; Sz(2^{p_{2}})_{max} /; PSL(2, 2^{p_{2}})_{max}; Sz(2^{p_{1}p_{2}})_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}p_{2}})_{max}; Sz(2^{p_{1}^{k_{1}}} )_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}^{k_{1}}} )_{max}; Sz(2^{p_{2}^{k_{2}}} )_{max} /; PSL(2, 2^{p_{2}^{k_{2}}} )_{max}; Sz(2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}})_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}})_{max}; Sz(2^{p_{1}p_{2}^{k_{2}}} )_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}p_{2}^{k_{2}}} )_{max}; Sz(2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}}} )_{max} /; PSL(2, 2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}}} )_{max}]

Abbildung 3.1: Bahnen von Sz(2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}}} ) vs. Bahnen von PSL(2, 2^{p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}}} )

Anhang A

Tabellen

Für die Erstellung von Tabelle A.1 wurde auf die Small Groups Library von GAP zurückgegriffen, alle in den Tabellen A.2 - A.6 angegebenen Werte wurden mit Hilfe der in Anhang B aufgeführten GAP - Funktionen berechnet.

m  n →  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ
p prim  1  1
p^{2}  1 1  2
2p  1 1  2
3p, p ≡ 1(3)  2  2
3p, p ≡ 2(3)  1  1
4p, p ≡ 1(4)  1 3 1  5
4p, p ≡ 3(4),  1 2 1  4

p > 3

8  1 1 3  5
12  1 1 2 1  5
16  1 1 2 6 4  14
18  1 2  2  5
24  1 3 2 4 5  15
27  1 1 2 1  5
30  1 2  1  4
32  1  6 4 12 10 8 10  51
35  1  1
36  2 4 3 2  1 2  14
40  1 1 1 4 7  14
42  1 2 1 2  6
45  1  1  2
48  1 2 1 2 3 8 8 13 7 7 52
50  1 2  2  5
54  1 1 3 3 1 3 1 2  15
55  1  1  2
56  2 1 1 4 5  13
60  1  1  2 3 5  1 13

Tabelle A.1: Anzahl der Gruppen G mit |G| = m und ω(G) = n

\begin{matrix}q & ω(PSL(2, q)) & ω(SL(2, q)) & ω(GL(2, q)) \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 5 & 7 \\ 4 & 4 & 4 & 8 \\ 5 & 4 & 7 & 14 \\ 7 & 5 & 9 & 26 \\ 8 & 5 & 5 & 10 \\ 9 & 5 & 8 & 21 \\ 11 & 7 & 13 & 38 \\ 13 & 8 & 15 & 60 \\ 16 & 7 & 7 & 28 \\ 17 & 10 & 19 & 58 \\ 19 & 11 & 21 & 93 \\ 23 & 13 & 25 & 74 \\ 25 & 10 & 17 & 88 \\ 27 & 7 & 13 & 38 \\ 29 & 16 & 31 & 124 \\ 31 & 17 & 33 & 196 \\ 32 & 9 & 9 & 18 \\ 37 & 20 & 39 & 234 \\ 41 & 22 & 43 & 216 \\ 43 & 23 & 45 & 268 \\ 47 & 25 & 49 & 146 \\ 49 & 17 & 30 & 188 \\ 53 & 28 & 55 & 220 \\ 59 & 31 & 61 & 182 \\ 61 & 32 & 63 & 504 \\ 64 & 15 & 15 & 90 \\ 67 & 35 & 69 & 412 \\ 71 & 37 & 73 & 436 \\ 73 & 38 & 75 & 564 \\ 79 & 41 & 81 & 484 \\ 81 & 15 & 26 & 164 \\ 83 & 43 & 85 & 254 \\ 89 & 46 & 91 & 456 \\ 97 & 50 & 99 & 696 \\ 101 & 52 & 103 & 618 \\ 103 & 53 & 105 & 628 \\ 107 & 55 & 109 & 326 \\ 109 & 56 & 111 & 888 \\ 113 & 58 & 115 & 692 \\ 121 & 37 & 68 & 692 \\ 125 & 24 & 47 & 188 \\ 127 & 65 & 129 & 1158 \\ 128 & 21 & 21 & 42 \end{matrix}

Tabelle A.2: ω(PSL(2, q)), ω(SL(2, q)), ω(GL(2, q))

\begin{matrix}k & ω(PSL(2, 2^{k})) \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \\ 5 & 9 \\ 6 & 15 \\ 7 & 21 \\ 8 & 37 \\ 9 & 61 \\ 10 & 109 \\ 11 & 189 \\ 12 & 353 \\ 13 & 633 \\ 14 & 1183 \\ 15 & 2193 \\ 16 & 4117 \\ 17 & 7713 \\ 18 & 14603 \\ 19 & 27597 \\ 20 & 52489 \\ 21 & 99881 \\ 22 & 190747 \\ 23 & 364725 \\ 24 & 699253 \\ 25 & 1342185 \\ 26 & 2581429 \\ 27 & 4971069 \\ 28 & 9587581 \\ 29 & 18512793 \\ 30 & 35792569 \\ 31 & 69273669 \\ 32 & 134219797 \\ 33 & 260301177 \\ 34 & 505294129 \\ 35 & 981706833 \\ 36 & 1908881901 \\ 37 & 3714566313 \\ 38 & 7233642931 \\ 39 & 14096303345 \\ 40 & 27487816993 \end{matrix}

Tabelle A.3: ω(PSL(2, 2^{k}))

22 Anhang A. Tabellen

\begin{matrix}k & ω(SL(2, p^{k})) \\ 1 & p + 2 \\ 2 & \frac{1}{2}(p^{2} + p + 4) \\ 3 & \frac{1}{3}(p^{3} + 2p + 6) \\ 4 & \frac{1}{4}(p^{4} + p^{2} + 2p + 8) \\ 5 & \frac{1}{5}(p^{5} + 4p + 10) \\ 6 & \frac{1}{6}(p^{6} + p^{3} + 2p^{2} + 2p + 12) \\ 7 & \frac{1}{7}(p^{7} + 6p + 14) \\ 8 & \frac{1}{8}(p^{8} + p^{4} + 2p^{2} + 4p + 16) \\ 9 & \frac{1}{9}(p^{9} + 2p^{3} + 6p + 18) \\ 10 & \frac{1}{10}(p^{10} + p^{5} + 4p^{2} + 4p + 20) \\ 11 & \frac{1}{11}(p^{11} + 10p + 22) \\ 12 & \frac{1}{12}(p^{12} + p^{6} + 2p^{4} + 2p^{3} + 2p^{2} + 4p + 24) \\ 13 & \frac{1}{13}(p^{13} + 12p + 26) \\ 14 & \frac{1}{14}(p^{14} + p^{7} + 6p^{2} + 6p + 28) \\ 15 & \frac{1}{15}(p^{15} + 2p^{5} + 4p^{3} + 8p + 30) \\ 16 & \frac{1}{16}(p^{16} + p^{8} + 2p^{4} + 4p^{2} + 8p + 32) \\ 17 & \frac{1}{17}(p^{17} + 16p + 34) \\ 18 & \frac{1}{18}(p^{18} + p^{9} + 2p^{6} + 2p^{3} + 6p^{2} + 6p + 36) \\ 19 & \frac{1}{19}(p^{19} + 18p + 38) \\ 20 & \frac{1}{20}(p^{20} + p^{10} + 2p^{5} + 4p^{4} + 4p^{2} + 8p + 40) \\ 21 & \frac{1}{21}(p^{21} + 2p^{7} + 6p^{3} + 12p + 42) \\ 22 & \frac{1}{22}(p^{22} + p^{11} + 10p^{2} + 10p + 44) \\ 23 & \frac{1}{23}(p^{23} + 22p + 46) \\ 24 & \frac{1}{24}(p^{24} + p^{12} + 2p^{8} + 2p^{6} + 2p^{4} + 4p^{3} + 4p^{2} + 8p + 48) \\ 25 & \frac{1}{25}(p^{25} + 4p^{5} + 20p + 50) \\ 26 & \frac{1}{26}(p^{26} + p^{13} + 12p^{2} + 12p + 52) \\ 27 & \frac{1}{27}(p^{27} + 2p^{9} + 6p^{3} + 18p + 54) \\ 28 & \frac{1}{28}(p^{28} + p^{14} + 2p^{7} + 6p^{4} + 6p^{2} + 12p + 56) \\ 29 & \frac{1}{29}(p^{29} + 28p + 58) \\ 30 & \frac{1}{30}(p^{30} + p^{15} + 2p^{10} + 4p^{6} + 2p^{5} + 4p^{3} + 8p^{2} + 8p + 60) \\ 31 & \frac{1}{31}(p^{31} + 30p + 62) \\ 32 & \frac{1}{32}(p^{32} + p^{16} + 2p^{8} + 4p^{4} + 8p^{2} + 16p + 64) \\ 33 & \frac{1}{33}(p^{33} + 2p^{11} + 10p^{3} + 20p + 66) \\ 34 & \frac{1}{34}(p^{34} + p^{17} + 16p^{2} + 16p + 68) \\ 35 & \frac{1}{35}(p^{35} + 4p^{7} + 6p^{5} + 24p + 70) \\ 36 & \frac{1}{36}(p^{36} + p^{18} + 2p^{12} + 2p^{9} + 2p^{6} + 6p^{4} + 4p^{3} + 6p^{2} + 12p + 72) \end{matrix}

Tabelle A.4: Polynome in p ≠ 2 für ω(SL(2, p^{k})), vgl. Korollar 2.6, Teil 3

\begin{matrix}k & ω(PSL(2, p^{k})) \\ 1 & \frac{1}{2}(p + 3) \\ 2 & \frac{1}{4}(p^{2} + 2p + 5) \\ 3 & \frac{1}{6}(p^{3} + 2p + 9) \\ 4 & \frac{1}{8}(p^{4} + 2p^{2} + 4p + 9) \\ 5 & \frac{1}{10}(p^{5} + 4p + 15) \\ 6 & \frac{1}{12}(p^{6} + 2p^{3} + 2p^{2} + 4p + 15) \\ 7 & \frac{1}{14}(p^{7} + 6p + 21) \\ 8 & \frac{1}{16}(p^{8} + 2p^{4} + 4p^{2} + 8p + 17) \\ 9 & \frac{1}{18}(p^{9} + 2p^{3} + 6p + 27) \\ 10 & \frac{1}{20}(p^{10} + 2p^{5} + 4p^{2} + 8p + 25) \\ 11 & \frac{1}{22}(p^{11} + 10p + 33) \\ 12 & \frac{1}{24}(p^{12} + 2p^{6} + 2p^{4} + 4p^{3} + 4p^{2} + 8p + 27) \\ 13 & \frac{1}{26}(p^{13} + 12p + 39) \\ 14 & \frac{1}{28}(p^{14} + 2p^{7} + 6p^{2} + 12p + 35) \\ 15 & \frac{1}{30}(p^{15} + 2p^{5} + 4p^{3} + 8p + 45) \\ 16 & \frac{1}{32}(p^{16} + 2p^{8} + 4p^{4} + 8p^{2} + 16p + 33) \\ 17 & \frac{1}{34}(p^{17} + 16p + 51) \\ 18 & \frac{1}{36}(p^{18} + 2p^{9} + 2p^{6} + 4p^{3} + 6p^{2} + 12p + 45) \\ 19 & \frac{1}{38}(p^{19} + 18p + 57) \\ 20 & \frac{1}{40}(p^{20} + 2p^{10} + 4p^{5} + 4p^{4} + 8p^{2} + 16p + 45) \\ 21 & \frac{1}{42}(p^{21} + 2p^{7} + 6p^{3} + 12p + 63) \\ 22 & \frac{1}{44}(p^{22} + 2p^{11} + 10p^{2} + 20p + 55) \\ 23 & \frac{1}{46}(p^{23} + 22p + 69) \\ 24 & \frac{1}{48}(p^{24} + 2p^{12} + 2p^{8} + 4p^{6} + 4p^{4} + 8p^{3} + 8p^{2} + 16p + 51) \\ 25 & \frac{1}{50}(p^{25} + 4p^{5} + 20p + 75) \\ 26 & \frac{1}{52}(p^{26} + 2p^{13} + 12p^{2} + 24p + 65) \\ 27 & \frac{1}{54}(p^{27} + 2p^{9} + 6p^{3} + 18p + 81) \\ 28 & \frac{1}{56}(p^{28} + 2p^{14} + 4p^{7} + 6p^{4} + 12p^{2} + 24p + 63) \\ 29 & \frac{1}{58}(p^{29} + 28p + 87) \\ 30 & \frac{1}{60}(p^{30} + 2p^{15} + 2p^{10} + 4p^{6} + 4p^{5} + 8p^{3} + 8p^{2} + 16p + 75) \\ 31 & \frac{1}{62}(p^{31} + 30p + 93) \\ 32 & \frac{1}{64}(p^{32} + 2p^{16} + 4p^{8} + 8p^{4} + 16p^{2} + 32p + 65) \\ 33 & \frac{1}{66}(p^{33} + 2p^{11} + 10p^{3} + 20p + 99) \\ 34 & \frac{1}{68}(p^{34} + 2p^{17} + 16p^{2} + 32p + 85) \\ 35 & \frac{1}{70}(p^{35} + 4p^{7} + 6p^{5} + 24p + 105) \\ 36 & \frac{1}{72}(p^{36} + 2p^{18} + 2p^{12} + 4p^{9} + 4p^{6} + 6p^{4} + 8p^{3} + 12p^{2} + 24p + 81) \end{matrix}

Tabelle A.5: Polynome in p ≠ 2 für ω(PSL(2, p^{k})), vgl. Korollar 2.6, Teil 3

\begin{matrix}m & ω(Sz(2^{2m+1})) \\ 1 & 7 \\ 2 & 11 \\ 3 & 23 \\ 4 & 63 \\ 5 & 191 \\ 6 & 635 \\ 7 & 2195 \\ 8 & 7715 \\ 9 & 27599 \\ 10 & 99883 \\ 11 & 364727 \\ 12 & 1342187 \\ 13 & 4971071 \\ 14 & 18512795 \\ 15 & 69273671 \\ 16 & 260301179 \\ 17 & 981706835 \\ 18 & 3714566315 \\ 19 & 14096303347 \\ 20 & 53634713555 \\ 21 & 204560302847 \\ 22 & 781874936819 \\ 23 & 2994414645863 \\ 24 & 11488774559639 \\ 25 & 44152937528387 \\ 26 & 169947155749835 \\ 27 & 655069036708595 \\ 28 & 2528336632928155 \\ 29 & 9770521225481759 \\ 30 & 37800705069076955 \\ 31 & 146402730743793243 \\ 32 & 567592125344909795 \\ 33 & 2202596307308603183 \\ 34 & 8555011744329310571 \\ 35 & 33256101992039755031 \\ 36 & 129379903640264252435 \\ 37 & 503719091506096386003 \\ 38 & 1962541914958813595483 \\ 39 & 7651429238067273257639 \\ 40 & 29850020237398254541375 \end{matrix}

Tabelle A.6: ω(Sz(2^{2m+1}))

Anhang B

GAP - Funktionen

Gegenstand dieses Anhangs sind Routinen zur Berechnung von ω(G) für die im Rahmen dieser Arbeit behandelten Typen von Gruppen G. Diese sind in der GAP -Programmiersprache (siehe [GAP99]) geschrieben und dienten zur Berechnung sämtlicher in den Tabellen A.2, A.3, A.4, A.5 und A.6 angegebenen Werte. Bis auf die Funktion zur Berechnung von ω(GL(2, q)) für eine beliebige Primzahlpotenz q handelt es sich lediglich um Routinen zur Auswertung der in den jeweils angegebenen Sätzen vorkommenden Formelausdrücke. Aus Gründen der Platzersparnis werden rein programmiertechnische Details wie etwa die Überprüfung der Gültigkeit der Parameter etc. fortgelassen, auch wird aus naheliegenden Gründen (vgl. Hauptsatz 3.4) auf die separate Angabe eines Programmstücks zur Berechnung von ω(Sz(q)) verzichtet.

1. Hilfsfunktionen

(a) T(k,M) … Berechnung von T_{k,M} (siehe Lemma 2.3)

         T := function (k,M) return Gcd(List(M,t->k/t)); end;

(b) FactorSets(k) … Nichtleere Mengen von Primfaktoren von k ∈ ℕ

         FactorSets :=
           k -> Difference(Combinations(Set(Factors(k))),
                           [[],[1]]);

(c) OddFactorSets(k) … Nichtleere Mengen ungerader Primfaktoren von k ∈ ℕ

         OddFactorSets :=
           k -> Difference(Combinations
                           (Difference(Set(Factors(k)),[2])),
                           [[],[1]]);

2. OmegaSL2(q) … Berechnung von ω(SL(2, q)) für eine Primzahlpotenz q (vgl. Satz 2.4, Tabelle A.2)

OmegaSL2 := function (q)
local  p,k;
p := SmallestRootInt(q); k := LogInt(q,p);
if   k = 1
then if p = 2 then return 3; else return p + 2; fi;
else return q/k + Sum(FactorSets(k),
                      M -> (-1)^Length(M)
                         * (  p^T(k,M)/k
                            - OmegaSL2(p^T(k,M))));
fi;
end;

3. OmegaSL2Polynomial(k) … Berechnung eines Polynoms in p ≠ 2 für ω(SL(2, p^{k})), k ∈ ℕ (vgl. Korollar 2.6, Tabelle A.4)

OmegaSL2Polynomial := function (k)
local  p;
p := Indeterminate(Integers); SetName(p,"p");
if   k = 1 then return p + 2;
else return p^k/k
          + Sum(FactorSets(k),
                M -> (-1)^Length(M)
                   * (  p^T(k,M)/k
                      - OmegaSL2Polynomial(T(k,M))));
fi;
end;

4. OmegaPSL2(q) … Berechnung von ω(PSL(2, q)) für eine Primzahlpotenz q (vgl. Satz 2.4, Tabellen A.2, A.3 und A.6)

OmegaPSL2 := function (q)
local  p,k,Halfs;
p := SmallestRootInt(q); k := LogInt(q,p);
if   q = 2 then return 3;
elif k = 1 then return (p + 3)/2;
else if   p = 2 then return OmegaSL2(q);
     elif k mod 2 = 1 then Halfs := 0;
     elif SmallestRootInt(k) = 2 then Halfs := p^(k/2)-1;
     else Halfs := p^(k/2)
                 + Sum(OddFactorSets(k),
                       M -> (-1)^Length(M)
                          * p^Gcd(List(M,t->k/(2*t))));
     fi;
     return Sum(FactorSets(k),
                M -> (-1)^Length(M) * (p^T(k,M)/(2*k)
                       - OmegaPSL2(p^T(k,M))))
          + (q + Halfs)/(2*k);
fi;
end;

5. OmegaPSL2Polynomial(k) … Berechnung eines Polynoms in p ≠ 2 für ω(PSL(2, p^{k})), k ∈ ℕ (vgl. Korollar 2.6, Tabelle A.5)

OmegaPSL2Polynomial := function (k)
local  p,Halfs;
p := Indeterminate(Integers); SetName(p,"p");
if   k = 1 then return (p + 3)/2;
else if   k mod 2 = 1 then Halfs := 0;
     elif SmallestRootInt(k) = 2 then Halfs := p^(k/2)-1;
     else Halfs := p^(k/2)
                 + Sum(OddFactorSets(k),
                       M -> (-1)^Length(M)
                          * p^Gcd(List(M,t->k/(2*t))));
     fi;
     return Sum(FactorSets(k),
                M -> (-1)^Length(M) * (p^T(k,M)/(2*k)
                       - OmegaPSL2Polynomial(T(k,M))))
          + (p^k + Halfs)/(2*k);
fi;
end;

6. OmegaGL2p(p) … Berechnung von ω(GL(2, p)) für eine Primzahl p ≠ 2 (vgl. Satz 2.10, Tabelle A.2)

OmegaGL2p := p ->  (p + 1)   * Tau(p - 1)
               - (p - 1)/2 * Tau((p - 1)/2);

7. OmegaGL2(q) … Berechnung von ω(GL(2, q)) für eine Primzahlpotenz q (da ich für den allgemeinen Fall keine geschlossene Formel gefunden habe, werden die Bahnen von 𝔎 (→ Beweis von Satz 2.10) einzeln durchlaufen und abgezählt) (vgl. Tabelle A.2)

OmegaGL2 := function (q)
local  AutomorphismClosure,p,k,K,f,lValues,M,M_ab,M_abs;
AutomorphismClosure := function (m_ab)
  local  Closure,OldLength,Pos,a,b,l,
         GFAutImage,PsilImage;
  Closure := [m_ab];
  repeat OldLength := Length(Closure);
         for Pos in [1..Length(Closure)] do
           a := Closure[Pos][2]; b := Closure[Pos][1];
           GFAutImage := [Image(f,b),Image(f,a)];
           AddSet(Closure,GFAutImage);
           for l in lValues do
             PsilImage := [b^(2*l + 1), a*b^l];
             AddSet(Closure,PsilImage);
           od;
         od;
  until Length(Closure) = OldLength;
  return Closure;
end;
p := SmallestRootInt(q); k := LogInt(q,p);
K := GF(q); f := FrobeniusAutomorphism(K);
lValues := Filtered([1..q-1],l -> Gcd(2*l + 1,q - 1) = 1);
M := Cartesian(Difference(AsList(K),[Zero(K)]),AsList(K));
M_abs := [];
repeat M_ab := AutomorphismClosure(M[1]);
       Add(M_abs,M_ab); M := Difference(M,M_ab);
until M = [];
return Length(M_abs) + Tau(q - 1);
end;

Anhang C

Symbolverzeichnis

ℕ  Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null)
ℤ  Menge der ganzen Zahlen
p  Primzahl
q  Primzahlpotenz
l|k  ’l teilt k’
π(k)  Menge der Primteiler von k
φ  Eulersche φ - Funktion
τ  Teileranzahlfunktion
ggT  Größter gemeinsamer Teiler
kgV  Kleinstes gemeinsames Vielfaches
δ_{i,j}  Kronecker - δ
log_{b}(n)  Logarithmus zur Basis b von n
M, |M|  Menge, Kardinalität von M
A^{t}  Transponierte der Matrix A
χ(A)  Charakteristisches Polynom von A
μ(A)  Minimalpolynom von A
K  Körper
K[x]  Polynomring in einer Variablen über K
GF(q)  Körper mit q Elementen
GF(q)^{∗}  Multiplikative Gruppe von GF(q)
ord(a)  Ordnung von a ∈ GF(q)\{0} als Element von GF(q)^{∗}
GF(q)_{max} Menge der in keinem echten Teilkörper von GF(q)

liegenden Elemente

α  Körperautomorphismus
σ, σ_{frob}  Frobenius - Automorphismus
Aut(K)  Automorphismengruppe von K
ω(K)  Anzahl der Bahnen von K unter der Operation von Aut(K)
G  Gruppe
|G|  Gruppenordnung von G
ord(g)  Ordnung des Gruppenelements g
g ∼ h  ’g und h sind zueinander konjugiert’
⟨g_{1}, …,g_{n}⟩ Von g_{1}, …, g_{n} erzeugte Gruppe
Z(G)  Zentrum von G
C_{G}(H)  Zentralisator von H in G

N_{G}(H)  Normalisator von H in G
H ⊴ G  ’H ist Normalteiler von G’
|G : H|  Index von H in G
Aut(G)  Automorphismengruppe von G
Inn(G)  Innere Automorphismengruppe von G
Out(G)  Äußere Automorphismengruppe von G
ω(G)  Anzahl der Bahnen von G unter der Operation von Aut(G)
G_{x}  Stabilisator des Punktes x unter der Operation von G
G_{{M}}  (Mengenweiser) Stabilisator von M unter der Operation von G
G ⋊ H  Semidirektes Produkt der Gruppen G und H (G ist normal)
C_{n}  Zyklische Gruppe der Ordnung n
S_{n}  Symmetrische Gruppe vom Grad n
A_{n}  Alternierende Gruppe vom Grad n
σ_{l}  Siehe Lemma 1.3
SL(n, q)  Spezielle lineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
PSL(n, q) Projektive spezielle lineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
GL(n, q) Allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
PGL(n, q) Projektive allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
ΓL(n, q)  Allgemeine semilineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
PΓL(n, q) Projektive semilineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
AGL(n, q) Affine allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über GF(q)
κ  Kanonische Projektion von SL(n, q) auf PSL(n, q)

bzw. von GL(n, q) auf PGL(n, q)

(verwendet in anderer Bedeutung im Zusammenhang mit den Suzuki-Gruppen, siehe Lemma 1.8)

ϕ, ψ_{l}, Ψ  Siehe Lemma 1.7
T_{k,M}  Siehe Lemma 2.3
H(p, k)  Siehe Satz 2.4

𝔎,

𝔎_{a}, 𝔎_{d}  Siehe Lemma 2.1 sowie die Beweise der Sätze 2.4, 2.7 und 2.10
ℜ  Siehe Beweise der Sätza 2.4 und 2.10
𝔅  Siehe Beweis von Satz 2.10
M(a, b)  In versch. Bed. verwendet in Lemma 1.8 und Satz 2.10
Sz(q)  Suzuki - Gruppe
S(q)  2 - Sylowgruppe von Sz(q)

K(q), H(q),

U_{i}(q)  Siehe Lemma 1.8
ς_{q}  Von σ_{frob}(K) induzierter Automorphismus von Sz(q)
Σ  Von ς_{q} erzeugte zyklische Gruppe
ℙ(n, q)  n - dimensionaler projektiver Raum über GF(q)
p(x, y)  Siehe Lemma 1.8
O  Tits’sches Ovoid

Sz(q)_{max}, K(q)_{max}, U_{i}(q)_{max}, 𝔎_{K(q)_{max}},

𝔎_{U_{i}(q)_{max}} Siehe Definition 3.2
PSL(2,q)_{max} Siehe Korollar 3.5

Literaturverzeichnis

[Die51] Jean Dieudonne. On the automorphisms of the classical groups. Memoirs of the American Mathematical Society, 2, 1951.

[Die63] Jean Dieudonne. La geometrie des groupes classiques. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 5, 1963.

[GAP99] The GAP Group, Aachen, St Andrews. GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.1, 1999.

        (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~gap).

[HB82] Bertram Huppert and Norman Blackburn. Finite Groups III. Band 243 der Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, 1982.

[Hup67] Bertram Huppert. Endliche Gruppen I. Band 134 der Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, 1967.

[Jun93] Dieter Jungnickel. Finite Fields. BI - Wissenschaftsverlag, 1993.

[Lün80] Heinz Lüneburg. Translation Planes. Springer-Verlag, 1980.

[Lün87] Heinz Lüneburg. On the Rational Normal Form of Endomorphisms. BI - Wissenschaftsverlag, 1987.

[MS97] Helmut Mäurer and Markus Stroppel. Groups that are almost homogeneous. Geometriae Dedicata, 68:229–243, 1997.

[Str99] Markus Stroppel. Finite simple groups with few orbits under automorphisms. Preprint, 1999.

[Suz62] Michio Suzuki. On a class of doubly transitive groups. Annals of Mathematics, 75:105–145, 1962.

[Tho68] John G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. Bull. Amer. Math. Soc., 74:383–437, 1968.

Hiermit erkläre ich, daß ich diese Arbeit selbständig angefertigt und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Stuttgart, im Januar 2000